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छत्तीसगढ़ माध्यमिक शिक्षा मंडल रायपुर

शैक्षणिक सत्र 2021- 22 माह अक्टूबर

असाइनमेंट- 03

कक्षा -बारहवीं

विषय -हिंदी

प्रश्न-1 "जूझ" कहानी में पिता को मनाने के लिए मां और दत्ता जी राव की सहायता से एक चाल चली गई है। क्या ऐसा कहना ठीक है क्यों?

उत्तर- लेखक पाठशाला जाने के लिए तड़पता है। उसके पिता ने उसे स्कूल जाने से रोक दिया है पिता को मनाने में लेखक और उसकी मां सफल नहीं हो पाते हैं। गांव के सबसे अधिक प्रभावशाली व्यक्ति दत्ता जी राव अंतिम उपाय थे। लेखक और उसकी मां उसके पास जाते हैं। उनसे दबाव डलवाने के लिए उन्हें एक झूठ का सहारा लेना पड़ता है। इसके बाद दत्ता जी राव के कहने पर लेखक के पिता उसको पढ़ाने के लिए तैयार हो जाते हैं। लेखक पाठशाला जाना शुरु कर देता है। वहां दूसरे लड़कों से उसकी दोस्ती होती है। वह पढ़ने के लिए हर तरह का प्रयास करता है। मराठी के एक बहुत अच्छे अध्यापक के प्रभाव में वह कविता भी रचने लगता है। अगर वह झूठ न बोलता तो यह सारे घटनाक्रम  घटित नहीं  होते ।

झूठ ना बोलने से दत्ता जी राव उसके पिता के ऊपर दबाव नहीं दे पाते। उसके पिता अपनी तरह से लेखक के जीवन को डालता है। लेखक का संबंध पढ़ाई लिखाई से नहीं हो पाता। उसके संघर्ष की कहानी ही नहीं बन पाती। आज जो कहानी हमें जूझने की प्रेरणा देती है, वह आज हमारे सामने नहीं होती। इस तरह झूठ का सहारा लेने से जीवन और सपनों का विकास होता है जिसके आधार पर लेखक अपनी आत्मकथा लिख पाता है।

प्रश्न-2 ढोलक की आवाज का पूरे गांव पर क्या असर होता था?

उत्तर- ढोलक की आवाज ही रात्रि की विभीषिका को चुनौती देती सी जान पड़ती थी। पहलवान संध्या से सुबह तक चाहे जिस ख्याल से ढोलक बजाता हो पर ढोलक की आवाज गांव के अर्धमृत औषधि उपचार पथ्य वहीं प्राणियों में संजीवनी शक्ति भरने का काम करती थी ढोलक की आवाज सुनते ही बूढ़े बच्चे जवानों की कमजोर आंखों के सामने दंगल का दृश्य नाचने लगता था तब उन लोगों के बेजान अंगों में भी बिजली दौड़ जाती थी ।यह ठीक है कि ढोलक की आवाज में बुखार को दूर करने की ताकत ना थी और ना महामारी को रोकने की शक्ति थी ।

प्रश्न- 3 "संघर्ष स्वीकारा है "कविता किसको व क्यों स्वीकारने की प्रेरणा देती है लिखिए।

उत्तर- मुक्तिबोध की यह कविता अपनी सुख-दुख की अनुभूतियों गरबीली गरीबी प्राण विचार व्यक्तिगत दृढ़ता जीवन के खट्टे मीठे अनुभव प्रेमिका का प्रेम व नूतन भावनाओं के वैभव को संघर्ष स्वीकार करने की प्रेरणा देती है।

1-कविता में जीवन के सुख-दुख संघर्ष अवसाद उठापटक को समान रूप से स्वीकार करने की बात कही गई है।

2-इसने है कि रगड़ता अपनी चरम सीमा पर पहुंच कर वियोग की कल्पना मात्र से त्रस्त हो उठती है।

3-प्रेम आलंबन अर्थात प्रिय जन पर भावपूर्ण निर्भरता कवि के मन में विस्मृति की उत्पन्न करती हैं। वह अपने प्रिय को पूर्णता भूल जाना चाहता है।

4-वस्तुतः विस्मृति की चाबी स्मृति का ही रूप है यह विस्मृति भी स्मृतियों के धुंधले से अछूती नहीं है। प्रिय की याद किसी ना किसी रूप में बनी ही रहती है।

5-परंतु कभी दोनों ही परिस्थितियों को उस परम सत्ता की परछाई मानता है इस परिस्थिति को खुशी-खुशी स्वीकार करता है। दुख सुख संघर्ष अवसाद उठापटक मिलन विच्छेद को समान भाव से स्वीकार करता है। प्रिय के सामने ना होने पर भी उसके आसपास होने का एहसास बना रहता है।

प्रश्न-4  निम्नलिखित गद्यांश को पढ़कर पूछे गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

उत्तर- 

क- कस्टम वाले की किताब पर क्या लिखा था?

उत्तर- कस्टम वाले की किताब पर समसलुईसलाम की तरफ से सुनील दास गुप्त को प्यार के साथ ढाका 1946 ।

ख- कस्टम वाला कहां का था वह भारत कब आया था?

उत्तर- कस्टम वाला ढाका का था। जब डिवीजन हुआ तभी आए ।

ग- कस्टम वाले को यह किताब किसने और कब दी थी?

उत्तर- समसुलईसलाम की तरफ से सोने की सालगिरह पर दी गई थी।

प्रश्न-5 कहानी लेखन में चरित्र चित्रण की क्या भूमिका होती है लिखिए।

उत्तर- पात्र का चरित्र चित्रण- आधुनिक कहानी में यथार्थ को मनोविज्ञान पर बल दिया जाने लगा है हम तो उसमें चरित्र चित्रण को अधिक महत्व दिया गया है। अब घटना और कार्य व्यापार के स्थान पर पत्र और उसका संघर्ष ही कहानी की मूल धुरी बन गए हैं।

कहानी के छोटे आकार तथा तीव्र प्रभाव के कारण सीमित होती हैं और दूसरे पात्र के सबसे अधिक प्रभावपूर्ण पक्ष की उसके व्यक्तित्व के केवल सर्वाधिक पुष्टि तत्व की झलक को प्रस्तुत की जाती है।

प्रज्ञा की शत्रु कहानी में एक ही मुख्य पात्र है जैनेंद्र के खेल कहानी में चरित्र चित्रण में मनोविज्ञान के आधार ग्रहण किए गए हैं। अतः कहानी के पात्र वास्तविक सजीव स्वाभाविक तथा विश्वसनीय लगते हैं। पात्रों का चरित्र आकलन लेखक प्राया दो प्रकार से करता है प्रत्यक्ष या वर्णनात्मक शैली द्वारा इस समय लेखक स्वयं पात्र के चरित्र में प्रकाश डालता है।

पारो छाया नाटक शैली में पात्र स्वयं अपने वार्तालाप और क्रियाकलापों द्वारा अपने गुण दोषों का संकेत देते हैं। इन दोनों कहानीकार को दूसरी पद्धति अपनाने चाहिए इससे कहानी में विश्वसनीयता एवं स्वाभाविक था आ जाती है।

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समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व (CH-3) Notes in Hindi || Class 12 Political Science Book 1 Chapter 3 in Hindi ||

समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व.

In this post we have given the detailed notes of class 12 Political Science Chapter 3 Samkalin Vishwa me Ameriki Verchasav (US Hegemony in Contemporay World) in Hindi. These notes are useful for the students who are going to appear in class 12 board exams.

इस पोस्ट में क्लास 12 के राजनीति विज्ञान के पाठ 3 समकालीन विश्व में अमेरिकी वर्चस्व (US Hegemony in Contemporay World) के नोट्स दिये गए है। यह उन सभी विद्यार्थियों के लिए आवश्यक है जो इस वर्ष कक्षा 12 में है एवं राजनीति विज्ञान विषय पढ़ रहे है।

वर्चस्व क्या है ?

वर्चस्व का मतलब ऐसी स्तिथि है जिसमे कोई देश विश्व में बाकि देशो के मुक़ाबले ज़्यादा मजबूत स्तिथि में हो, अमेरिकी वर्चस्व का मतलब भी ऐसी ही एक स्तिथि है। जिसमे अमेरिका विश्व में बाकि देशो के मुक़ाबले ज़्यादा ताक़तवर स्तिथि में था।  यह ताक़त आर्थिक, राजनीतिक व सांस्कृतिक क्षेत्रों में थी।

ऐसी स्तिथि बनी क्यों ?

शीतयुद्ध के दौरान जब विश्व में दो महाशक्तियां अमेरिका तथा सोवियत संघ थी, तब शक्ति का संतुलन बना रहता था पर सोवियत संघ के विघटन के बाद जब विश्व में सिर्फ एक ही देश यानि अमेरिका रह गया तब विश्व में शक्ति का संतुलन समाप्त हुआ और अमेरिका एक अकेली महाशक्ति बन गया और एक ऐसी स्तिथि आ गयी की वह विश्व में कोई भी काम अपनी मर्ज़ी से कर सकता था, और उसे रोकने वाला कोई नहीं था। इस स्तिथि को ही अमेरिकी वर्चस्व कहते है।

ऑपरेशन डेजर्ट स्टॉर्म

• अगस्त 1990 में इराक ने कुवैत पर कब्जा कर लिया
• इराक को समझाने की बहुत कोशिश की गई परंतु इराक नहीं माना
• ना मानने की वजह से UNO ने एक नाटकीय फैसला लिया और इराक पर बल प्रयोग की अनुमति दे दी
• UNO के इस अभियान को ही ऑपरेशन डेजर्ट स्टॉर्म कहा जाता है
• UNO की सेना को इराक पर हमला करने के लिए भेजा गया। ये सेना वैसे तो 34 देशो की मिली जुली सेना थी पर इसमें 75% सैनिक अमेरिका के थे। इस सेना के जरनल भी अमेरिकी थे।
• सद्दाम हुसैन जो उस समय इराक के राष्ट्रपति थे उन्होंने कहा की यह जंग सौ जंगो की एक जंग होगी मतलब की उन्हें हराना बहुत मुश्किल होगा पर ऐसा कुछ हुआ नहीं, इराक बड़े ही आराम से कुछ ही दिनों में हर गया और उसे कुवैत से हटाना पड़ा।
• इस युद्ध के दौरान अमेरिका ने अपनी शक्तियों का खुला प्रदर्शन किया। इस युद्ध में अमेरिका ने स्मार्ट बमो का प्रयोग किया इसीलिए इसे कंप्यूटर युद्ध भी कहा जाता है साथ ही साथ इस युद्ध का टीवी पर लाइव प्रसारण किया गया जिस वजह से इसे वीडियो गेम वॉर कहा गया।
• UNO द्वारा लिए गए इस फैसले को नाटकीय इसीलिए कहा गया क्योकि उससे पहले कभी भी UNO द्वारा कोई इस तरह का निर्णय नहीं लिया गया था।

ऑपरेशन इनफाइनाइट रीच

• 1998 में दो अमेरिकी दूतावासों नैरोबी तथा दारेसलाम पर हमला हुआ, इस हमले के लिए आतंकवादी सगठन अलकायदा को जिम्मेदार ठहराया गया। इसके जवाब में अमेरिका द्वारा ऑपरेशन इनफाइनाइट रीच शुरू किया गया ।इस ऑपरेशन का मुख्य उद्देश्य अलकायदा से हमले का बदला लेना था। इस ऑपरेशन के तहत अलकायदा के ठिकानो पर क्रूज मिसाइल से हमला किया गया और इस हमले के लिए UNO की अनुमति भी नहीं ली गई। इन हमलो की वजह से कई बेगुनाह लोग भी मारे गए जिस वजह से अमेरिका की काफी आलोचना भी की गई।

ऑपरेशन एन्ड्यूरिंग फ्रीडम

• 11 सितम्बर 2001 को अलग अलग अरब देशो के लगभग 19 अपहरकर्ताओ ने अमरीका के 4 विमानों पर कब्ज़ा कर लिया। वह इन विमानों को अमेरिका की मुख्या इमारतों की तरफ सीधा उड़ा कर ले गए। इनमे से दो विमान न्यूयोर्क में स्थित वर्ल्ड ट्रेड सेंटर के उत्तरी और दक्षिणी टावर से टकराये।  तीसरा विमान वर्जीनिया में स्तिथ पेंटागन से टकराया जहाँ अमेरिका का रक्षा मुख्यालय है। चौथे विमान को अमेरिकी कांग्रेस की मुख्य इमारत से टकराना था पर वह पेंसिल्वेनिया के एक खेत में गिर गया। इस हमले को नाइन एलेवेन कहा गया।

9/11 के परिणाम

• अमेरिका पर अब तक का सबसे बड़ा हमला
• लगभग 3000 लोगो की मौत
• ऑपरेशन एन्ड्यूरिंग फ्रीडम की शुरुआत

यह उन सभी लोगो के खिलाफ चलाया गया जिन पर 9/11 का शक था इसका मुख्य निशाना अलकायदा और तालिबान था। इस ऑपरेशन के तहत अमेरिका ने पुरे विश्व में गिरफ्तारियां की।  लोगो को ख़ुफ़िया जेल खानो में रखा गया और किसी को भी इन बंदियों से मिलने की अनुमति नही दी गई।

ऑपरेशन इराकी फ्रीडम

19 मार्च 2003 को अमेरिका ने ऑपरेशन इराकी फ्रीडम शुरू किया।  इसमें एक सेना बनाई गई जिसमे 40 से ज्यादा देशो की सेना शामिल थी। इस सेना को ‘कॉअलिशन ऑफ़ वीलिंग्स यानि आकांक्षियो  का महाजोट’ कहा गया। इस सेना को इराक पर हमला करने के लिए बनाया गया था। अमेरिका द्वारा कहा गया की इस सेना को इराक में बन रहे सामूहिक संहार के हथियारों को ख़त्म करने और उनके उत्पादन पर रोक लगाने के लिए बनाया गया है, पर हमले के बाद इराक में कोई भी हथियार नहीं मिले। इसीलिए ऐसा मन गया की इस हमले का मुख्या उद्देशय इराक के तेल संसाधनों पर कब्ज़ा करना था। इस हमले के लिए अमरीका ने UNO की अनुमति लेना भी ज़रूरी नहीं समझा।

ऑपरेशन इराकी फ्रीडम के परिणाम

• इराक में अमेरिका के खिलाफ विद्रोह की शुरुआत।
• अमेरिका के लगभग 3000 तथा इराक के बहुत सारे सैनिक इस युद्ध में मरे गए।
• अमेरिका के इस कदम की सबने आलोचना की

अमेरिका का वर्चस्व

आर्थिक वर्चस्व, विश्व की सबसे बड़ी अर्थव्यवस्था.

• वर्तमान में अमेरिका विश्व की सबसे बड़ी अर्थव्यवस्थाओं में से एक है अर्थव्यवस्था का यह विशाल आकार अमेरिका के आर्थिक वर्चस्व का प्रतीक है

हर क्षेत्र की सबसे बड़ी तीन कंपनियों में से एक हमेशा अमेरिका की

• विश्व के हर क्षेत्र में स्थित सभी कंपनियों में से सबसे बड़ी तीन कंपनियों में से एक कंपनी हमेशा अमेरिका की रही है

डॉलर का वर्चस्व

• विश्व की सभी मुद्राओं की कीमत का निर्धारण डॉलर के आधार पर किया जाता है जिस वजह से अमेरिकी डॉलर सबसे मजबूत मुद्राओं में से एक है

सभी बड़े अंतर्राष्ट्रीय संस्थानों में महतवपूर्ण भूमिका

• विश्व के सभी बड़े अंतर्राष्ट्रीय आर्थिक संस्थानों में अमेरिका की एक महत्वपूर्ण भूमिका है और वह विश्व की आर्थिक नीतियों को प्रभावित करने की ताकत रखता है

सैन्य वर्चस्व

विश्व की सबसे बड़ी सेना.

• वर्तमान में विश्व की सबसे बड़ी सेना अमेरिका के पास है

अपने से नीचे के 12 देशो से भी अधिक सैन्य खर्चा

• अमेरिका अपनी सेना पर उससे नीचे के 12 देशों के द्वारा किए गए कुल खर्चे से भी ज्यादा खर्चा करता है

विश्व में कही भी वार कर सकने की क्षमता

• अमेरिका की सेना केवल संख्यात्मक रूप से ज्यादा नहीं है बल्कि उसकी क्षमता और उसकी गुणवत्ता भी विश्व में सबसे अधिक है

संख्या और गुण दोनों में सबसे आगे

• अमेरिका की सैन्य क्षमता केवल संख्या के आधार पर ही ज़्यादा नहीं है बल्कि गुणवत्ता के मामले में भी अमेरिकी सेना विश्व की सबसे ताकतवर सेनाओ में से एक है।

ढांचागत वर्चस्व

Mba की डिग्री.

• विश्व में प्रसिद्ध MBA की डिग्री की शुरुआत अमेरिका द्वारा ही की गई थी
• वर्तमान में यह डिग्री विश्व में सबसे उच्च स्तरीय डिग्रियों में से एक है

समुंद्री मार्गो पर नियंत्रण

• वर्तमान में स्थित सभी समुद्र मार्गों का रखरखाव और उन पर नियंत्रण अमेरिका द्वारा ही किया जाता है

इंटरनेट की निर्भरता

• वर्तमान में पूरा विश्व इंटरनेट पर निर्भर है और इस इंटरनेट का संचालन अमेरिकी उपग्रहों के एक विशाल समूह द्वारा किया जाता है

सभी बड़े संगठनों की मुख्यालय अमेरिका में

• विश्व में स्थित सभी बड़े अंतर्राष्ट्रीय संगठनों का मुख्यालय अमेरिका में ही स्थित है और इनमें काम करने वाले अधिकतर कर्मचारी अमेरिकी ही है

सांस्कृतिक वर्चस्व

अमेरिकी रहन सहन का बाकि देशो पर प्रभाव.

• विश्व में स्थित लगभग सभी देशों के लोग अमेरिकी रहन-सहन के तरीकों से प्रभावित हैं एवं अमेरिका के लोगों जैसे जीवन शैली को अपनाना चाहते हैं
• विश्व भर में प्रसिद्ध नीली जींस की शुरुआत अमेरिका से ही हुई थी

अमरीकियों की तरह जीने की इच्छा

• वर्तमान में विश्व के किसी भी हिस्से में रहने वाला व्यक्ति अमेरिकी जीवन शैली की तरह जीवन जीना चाहता है
• उपरोक्त सभी तथ्य विश्व में अमेरिका के वर्चस्व को दर्शाते हैं

अमेरिकी वर्चस्व के रास्ते में अवरोध

संस्थागत बनावट.

• अमेरिका की संस्थागत बनावट उसके वर्चस्व के रस्ते में सबसे बड़ी बाधा है। अमेरिका में शक्तियाँ, शासन के तीनो अंगो के बीच में बटी हुई है। इसी वजह से कार्यपालिका द्वारा सैन्य शक्तियों का पूरी तरह से उपयोग नहीं किया जा सकता।

अमरीकी समाज

• अमेरिका समाज यानि अमेरिका के लोग शिक्षित एवं जागरूक है इसी वजह से वह अमेरिकी द्वारा सैन्य शक्तियों के गलत प्रयोग का विरोध कर अमेरिका की मनमानियों को रोक सकते है।
• नाटो अमेरिका का संगठन है। इस संगठन के साथ अमेरिका के आर्थिक हित जुड़े हुए है। इस वजह से इस संगठन के देश अमेरिका को कुछ गलत करने से रोक सकते है और अमेरिकी वर्चस्व पर लगाम लगा सकते है।

अमेरिकी वर्चस्व से कैसे निपटे ?

बैंड वेगन नीति.

• बैंड वेगन का मतलब होता है की जिधर की तरफ की हवा चले उधर की तरफ चल पड़ो यानि की अगर अभी अमेरिका का वर्चस्व है तो उसके साथ रहो और उसके वर्चस्व का फ़ायदा उठाओ।

अंतर्राष्ट्रीय राजनीति से छुपना

• अंतर्राष्ट्रीय राजनीति से चुप जाना भी वर्चस्व से बचने का एक तरीका हो सकता है यानि की खुद को अमेरिका से इतना दूर कर लो की उसके किसी कार्य का आप पर कोई प्रभाव ही न पड़े। पर यह नीति छोटे देशो के लिए अच्छी हो सकती है पर भारत जैसे बड़े देश क लिए ऐसा करना लगभग असंभव है।

भारत , रूस और चीन का गठबंधन

• बहुत से विद्वान ऐसा मानते है की भारत, रूस और चीन गठबंधन बना कर अमेरिका की शक्ति को संतुलित कर सकते है। पर इस गठबंधन का बनना संभव नहीं लगता क्योकि इन तीनो देशो के बीच वर्तमान में कोई सहयोग नहीं है।

बुद्धिजीवियों का गठबंधन

• मीडिया के लोगो, अमरीका के नागरिको और बुधिजीविओ को लेकर एक संगठन बनाया जा सकता है। जो की अमेरिका की नीतियों के समीक्षा करे, उसके सही फैसलों का समर्थन एवं उसके गलत फैसलों का विरोध कर सके।

अमेरिका और भारत

भारत और सोवियत संघ के बीच में नज़दीकी होने के कारण अमेरिका और भारत के सम्बन्ध शुरू से ही ख़राब रहे है पर 1991 में सोवियत संघ के विघटन के बाद भारत और अमेरिका के सम्बन्धो के सुधार आया और  वर्तमान में भारत और अमेरिका के संबंध काफी अच्छे है।

भारत और अमेरिका के सम्बन्धो की विशेषताएं

भारतीय सॉफ्टवेयर निर्यात का 65 प्रतिशत अमेरिका को.

• भारत की सॉफ्टवेयर कंपनियों द्वारा अपने उत्पादन का लगभग 65% से ज्यादा हिस्सा अमेरिका को निर्यात किया जाता है

अमेरिकी कंपनी बोईंग के 35 प्रतिशत कर्मचारी भारतीय

• अमेरिका की विमान कंपनी बोइंग में लगभग 35% से अधिक कर्मचारी भारतीय हैं

3 लाख से ज़्यादा भारतीय सिलिकॉन वाली में कार्यरत

• अमेरिका का IT हब कहे जाने वाले सिलिकॉन वैली में 3 Lakh से भी अधिक भारतीय कर्मचारी कार्यरत हैं

अमरीकी कंपनियों में भारतीयों का अत्याधिक योगदान

• अमेरिका की कई बड़ी-बड़ी कंपनियों में भारतीयों का मुख्य योगदान है
• उदाहरण के लिए :- गूगल में सुंदर पिचाई

We hope that class 12 Political Science Chapter 3 Samkalin Vishwa me Ameriki Verchasav (US Hegemony in Contemporay World) notes in Hindi helped you. If you have any query about class 12 Political Science Chapter 3 Samkalin Vishwa me Ameriki Verchasav (US Hegemony in Contemporay World) about any other notes of class 12 political science in Hindi, so you can comment below. We will reach you as soon as possible… 

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4 thoughts on “ समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व (CH-3) Notes in Hindi || Class 12 Political Science Book 1 Chapter 3 in Hindi || ”

class12history

Nots ke aalva Part ke persan uttar bhi chaiye

Mujhe notes chahie 12th class political science ke ok ,

Very nice language of learning and reading All are suitable set with title and it’s a good lesson

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 Matrices

Class 12 Maths Chapter 3 NCERT Solutions Class 12 Math Exercise 3.1 in English Class 12 Math Exercise 3.2 in English Class 12 Math Exercise 3.3 in English Class 12 Math Exercise 3.4 in English 12th Maths Chapter 3 Misc. Exercise

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The arrangement of real numbers in a rectangular array enclosed in brackets as [] or () is known as a Matrix (Matrices is plural of matrix). Matrix operations are used in electronic physics, computers, budgeting, cost estimation, analysis and experiments. They are also used in cryptography, modern psychology, genetics, industrial management etc. In general an m x n matrix is matrix having m rows and n columns. it can be written as follows:

• Order of a Matrix There may be any number of rows and any number of columns in a matrix. If there are m rows and n columns in matrix A, its order is m x n and it is read as an m x n matrix.
• Transpose of a Matrix The transpose of a given matrix A is formed by interchanging its rows and columns and is denoted by A’.
• Symmetric Matrix A square matrix A is said to be a symmetric matrix if A’ = A.
• Skew-Symmetric Matrix A square matrix A is said to be a skew symmetric if A’ = – A. all elements in the principal diagonal of a skew symmetric matrix are zeroes.
• Addition of Matrix If A and B are any two given matrices of the same order, then their sum is defined to be a matrix C whose respective elements are the sum of the corresponding elements of the matrices A and B and we write this as C = A + B.

Types of Matrices

• Row matrix: A row matrix has only one row but any number of columns.
• Column matrix: A column matrix has only one column but any number of rows.
• Square matrix: A square matrix has the number of column equal to the number of rows.
• Rectangular Matrix: A matrix is said to be a rectangular matrix if the number of rows is not equal to the number of columns.
• Diagonal matrix: If in a square matrix has all elements 0 except principal diagonal elements, it is called diagonal matrix.
• Scalar Matrix: A diagonal matrix is said to be a scalar matrix if all the elements in its principal diagonal are equal to some non-zero constant.
• Zero or Null matrix: If all elements of a matrix are zero, then the matrix is known as zero matrix and denoted by O.
• Unit or Identity matrix: If in a square matrix has all elements 0 and each diagonal elements are non-zero, it is called identity matrix and denoted by I.
• Equal Matrices: Two matrices are said to be equal if they are of the same order and if their corresponding elements are equal.

Properties of Matrices

• When a matrix is multiplied by a scalar, then each of its element is multiplied by the same scalar.
• If A and B are any two given matrices of the same order, then their sum is defined to be a matrix C whose respective elements are the sum of the corresponding elements of the matrices A and B and we write this as C = A + B.
• For any two matrices A and B of the same order, A + B = B + A. i.e. matrix addition is commutative.
• For any three matrices A, B and C of the same order, A + (B + C) = (A + B) + C i.e., matrix addition is associative.
• Additive identity is a zero matrix, which when added to a given matrix, gives the same given matrix, i.e., A + O = A = O + A.
• If A + B = O, then the matrix B is called the additive inverse of the matrix of A.
• If A and B are two matrices of order m x p and p x n respectively, then their product will be a matrix C of order m x n.

Invertible Matrix

A square matrix of order n is invertible if there exists a square matrix B of the same order such that AB = I = BA, Where I is identify matrix of order n. Theorems of invertible matrices

• Theorem 1: Every invertible matrix possesses a unique inverse.
• Theorem 2: A square matrix is invertible iff it is non-singular.

Historical Facts!

Matrix is a latin word. Originally matrices are used for solutions of simultaneous linear equations in Mathematics . An important Chinese Text between 300 BC and 200 AD, nine chapters of Mathematical Art(Chiu Chang Suan Shu), give the use of matrix methods to solve simultaneous equations. Carl Friedrich Gauss(1777 – 1855) also gave the method to solve simultaneous equations by matrix method.

What does chapter 3 of class 12th Maths explore about Matrix?

A matrix is an ordered rectangular array of numbers or functions. The numbers or functions are called the elements or the entries of the matrix. We denote matrices by capital letters. The following are some examples of matrices: – In the above examples, the horizontal lines of elements are said to constitute, rows of the matrix and the vertical lines of elements are said to constitute, columns of the matrix. Thus A has 3 rows and 2 columns and B has 3 rows and 3 columns.

What are the practical implimentations of matrices chapter 3 of 12th Maths in different fields?

The knowledge of matrices is necessary in various branches of mathematics. Matrices are one of the most powerful tools in mathematics. The evolution of the concept of matrices is the result of an attempt to obtain compact and simple methods of solving a system of linear equations. Matrix notation and operations are used in electronic spreadsheet programs for personal computer, which in turn is used in different areas of business and science like budgeting, sales projection, cost estimation, analyzing the results of an experiment, etc. Also, many physical operations such as magnification, rotation, and reflection through a plane can be represented mathematically by matrices. Matrices are also used in cryptography. This mathematical tool is not only used in certain branches of sciences but also in genetics, economics, sociology, modern psychology, and industrial management.

How many exercises are there in chapter 3 of class 12th Maths for 1st term exam?

There are 5 exercises in chapter 3 of class 12th Maths. The first exercise (Ex 3.1) has 15 sums (5 examples and 10 questions). The second exercise (Ex 3.2) contains 36 sums (14 examples and 22 questions). In the third exercise (Ex 3.3), there are 15 sums (3 examples and 12 questions). The fourth exercise has 21 sums (3 examples and 18 questions). There are 18 sums (3 examples and 15 questions) in the last (Miscellaneous) exercise.

Are there any theorems in chapter 3 of class 12th Maths?

Yes, there are four theorems in chapter 3 of class 12th Maths. All the theorems are nice, easy, and important. Proofs of these theorems are short and easy. Students can easily understand the theorems and proofs of these theorems.

« Inverse Trigonometric Functions

Determinants ».

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Class 12 Political Science Chapter 3 समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व Notes In Hindi

12 class political science notes in hindi chapter 3 समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व us hegemony in world politics, click here for new post समकालीन विश्व में अमरीकी वर्चस्व notes, related chapters.

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NCERT, which stands for The National Council of Educational Research and Training, is responsible for designing and publishing textbooks for all the classes and subjects. NCERT textbooks covered all the topics and are applicable to the Central Board of Secondary Education (CBSE) and various state boards.

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 Matrices in Hindi

प्रश्नावली 3.1.

प्रश्र 1: आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&5&{19}&{ - 7} \\   {35}&{ - 2}&{\frac{5}{2}}&{12} \\   {\sqrt 3 }&1&{ - 5}&{17}  \end{array}} \right]}$ के लिए ज्ञात कीजिए:

आव्यूह की कोटि

उत्तर: आव्यूह की कोटि = पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या 

$ = 3 \times 4$ 

अवयवों की संख्या 

उत्तर:  अवयवोंकी संख्या$ = 3 \times 4 = 12$

अवयव \[\mathbf{{{\text{a}}_{{\text{13}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{21}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{33}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{24}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{23}}}}}\] 

उत्तर: अवयव ${a_{13}} = 19,\quad {a_{21}} = 35,{a_{33}} =  - 5,{a_{24}} = 12,{a_{23}} = \frac{5}{2}$ 

प्रश्न 2: यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं ? यदि 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी ?

उत्तर: आव्यूह में कुल अवयव$ = 24$ 

आव्यूह की संभव कोटियाँ $ = 1 \times 24,2 \times 12,3 \times 8,4 \times 6,6 \times 4,8 \times 3,12 \times 2,24 \times 1$ 

यदि इसमें $13$ अवयव हों तो कोटियाँ $:1 \times 13,13 \times 1$ हो सकती हैं|

प्रश्न 3: यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा ?

उत्तर: आव्यूह में कुल अवयव$ = 18$

आव्यूह की संभव कोटियाँ$ = 1 \times 18,2 \times 9,3 \times 6,6 \times 3,9 \times 2,18 \times 1$ यदि इसमें $13$ अवयव हों तो कोटियाँ \[:1 \times 5,5 \times 1\] हो सकती हैं|

प्रश्न 4:एक \[2 \times 2\]  आव्यूह $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं

$\mathbf{{a_{ij}} = \frac{{{{(i + j)}^2}}}{2}}$ 

 ${a_{ij}} = \frac{{{{(i + j)}^2}}}{2} $  

${a_{11}} = \frac{{{{(1 + 1)}^2}}}{2} = 2 $  

${a_{12}} = \frac{{{{(1 + 2)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{21}} = \frac{{{{(2 + 1)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{22}} = \frac{{{{(2 + 2)}^2}}}{2} = 8 $

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{\frac{9}{2}} \\   {\frac{9}{2}}&8  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{{a_{ij}} = \frac{i}{j}}$ 

 ${a_{ij}} = \frac{i}{j} $  

${a_{11}} = \frac{1}{1} = 1 $  

${a_{12}} = \frac{1}{2} = 2 $  

${a_{21}} = \frac{2}{1} = 2 $  

${a_{22}} = \frac{2}{2} = 2 $ 

$\mathbf{{a_{ij}} = \frac{{{{(i + 2j)}^2}}}{2}}$ 

 ${a_{ij}} = \frac{{{{(i + 2j)}^2}}}{2} $  

${a_{11}} = \frac{{{{(1 + 2)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{12}} = \frac{{{{(1 + 4)}^2}}}{2} = \frac{{25}}{2} $  

${a_{21}} = \frac{{{{(2 + 2)}^2}}}{2} = 8 $  

${a_{22}} = \frac{{{{(2 + 4)}^2}}}{2} = 18 $

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{9}{2}}&{\frac{{25}}{2}} \\   8&{18}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5: एक $3 \times 4$ आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं :

$\mathbf{{a_{ij}} = \frac{1}{2}| - 3i + j|}$ 

 ${a_{ij}} = \frac{1}{2}| - 3i + j| $  

${a_{11}} = \frac{1}{2}| - 3 + 1| = 1 $  

${a_{12}} = \frac{1}{2}| - 3 + 2| = \frac{1}{2} $  

${a_{13}} = \frac{1}{2}| - 3 + 3| = 0 $  

${a_{14}} = \frac{1}{2}| - 3 + 4| = \frac{1}{2} $ 

${a_{21}} = \frac{1}{2}| - 6 + 1| = \frac{5}{2} $  

${a_{22}} = \frac{1}{2}| - 6 + 2| = 2 $

${a_{23}} = \frac{1}{2}| - 6 + 3| = \frac{3}{2} $

${a_{24}} = \frac{1}{2}| - 6 + 4| = 1 $

${a_{31}} = \frac{1}{2}| - 9 + 1| = 4 $

${a_{32}} = \frac{1}{2}| - 9 + 2| = \frac{7}{2}$

${a_{33}} = \frac{1}{2}| - 9 + 3| = 3 $  

${a_{33}} = \frac{1}{2}| - 9 + 4| = \frac{5}{2}$

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}} \\   {\frac{5}{2}}&2&{\frac{3}{2}}&1 \\   4&{\frac{7}{2}}&3&{\frac{5}{2}}  \end{array}} \right]$ 

\[\mathbf{{{\text{a}}_{{\text{i j}}}}{\text{ = 2 i - j}}}\] 

 ${a_{ij}} = 2i - j $  

${a_{11}} = 2 - 1 = 1 $  

${a_{12}} = 2 - 2 = 0 $  

${a_{13}} = 2 - 3 =  - 1 $  

${a_{14}} = 2 - 4 =  - 2 $  

${a_{21}} = 4 - 1 = 3 $  

${a_{22}} = 4 - 2 = 2 $  

${a_{23}} = 4 - 3 = 1 $  

${a_{24}} = 4 - 4 = 0 $

${a_{31}} = 6 - 1 = 5 $  

${a_{32}} = 6 - 2 = 4 $  

${a_{33}} = 6 - 3 = 3 $  

${a_{34}} = 6 - 4 = 2 $

आव्यूह $= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&{-1}&{ -2} \\   3&2&1&0 \\   5&4&3&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 6: निम्नलिखित समीकरण से \[x,y{\text{ }}\] तथा $z$ के मान ज्ञात कीजिए : 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&3 \\   x&5   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&z \\   1&5   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&3 \\   x&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&z \\   1&5   \end{array}} \right]$ 

अगर दो आव्यूह समान है तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

\[y = 4,z = 3,x = 1\] 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y}&2 \\   {5 + z}&{xy}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2 \\   5&8   \end{array}} \right]}$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y}&2 \\   {5 + z}&{xy}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2 \\   5&8   \end{array}} \right]$

अगर दो आव्यूह समान हैं तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

\[x + y = 6,5 + z = 5,xy = 8\] 

अतः \[x = 2,y = 4,z = 0\] या \[x = 4,y = 2,z = 0\] 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z} \\   {x + z} \\   {y + z}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  9 \\   5 \\    7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z} \\   {x + z} \\   {y + z}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  9 \\   5 \\   7   \end{array}} \right]$ 

\[x + y + z = 9,x + z = 5,y + z = 7\] 

अतः \[x = 2,y = 4,z = 3\] 

प्रश्न 7: समीकरण $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {a - b}&{2a + c} \\   {2a - b}&{3c + d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5 \\   0&{13}   \end{array}} \right]}$ से a,b,c तथा d के मान ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया है कि $,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a - b}&{2a + c} \\   {2a - b}&{3c + d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5 \\   0&{13}  \end{array}} \right]$ 

$a - b =  - 1 \ldots  \ldots {\text{ (i) }} $  

$2a + c = 5 \ldots  \ldots {\text{ (ii) }} $  

$2a - b = 0 \ldots  \ldots {\text{ (iii) }} $  

$3c + d = 13 \ldots  \ldots {\text{ (iv) }} $

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर, 

$a = 1,b = 2$ 

समीकरण (ii) से $c = 3$ और (iv) से $d = 4$ 

प्रश्न 8: $\mathbf{{\text{A}} = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}}$ एक वर्ग आव्यूह है यदि 

$m < n$ 

$m > n$ 

$m = n$ 

इनमें से कोई नहीं

उत्तर: सही विकल्प (C) है क्यूंकि, एक वर्ग आव्यूह में स्तंभों की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

प्रश्न 9:  $\mathbf{x}$ तथा $\mathbf{y}$ के प्रदत्त किन मानों केलिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं ?

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 7}&5 \\   {y + 1}&{2 - 3x}   \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{y - 2} \\   8&4  \end{array}} \right]}$ 

$\mathbf{x = \frac{{ - 1}}{3},y = 7}$ 

ज्ञात करना संभव नहीं है 

$\mathbf{y = 7,x = \frac{{ - 2}}{3}}$ 

$\mathbf{x = \frac{{ - 1}}{3},y = \frac{{ - 2}}{3}}$ 

उत्तर: सही विकल्प (B) है, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 7}&5 \\   {y + 1}&{2 - 3x}   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{y - 2} \\   8&4   \end{array}} \right]$ 

$3x + 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 7}}{3} $  

$y - 2 = 5 \Rightarrow y = 7 $  

$y + 1 = 8 \Rightarrow y = 7 $ 

$2 - 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{3}$ इन परिणामों के अनुसार $x$ के दो मान है इसीलिए असंभव है |

प्रश्न 10: $\mathbf{3 \times 3}$ कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है ?

उत्तर: सही विकल्प (D) है क्यूंकि,

$3 \times 3$ कोटि के आव्यूह में अवयव कि कुल संख्या $ = 9$ 

यदि प्रत्येक प्रविष्ट 0 या 1 है, तो प्रत्येक अवयव के लिए क्रमचय

\[ = 2,\] अतः अवयवों केलिए कुल क्रमचय $ = {2^9} = 512$ 

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1: मान लीजिए की $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right],C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&5 \\   3&4   \end{array}} \right]}$ तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

\[\mathbf{A + B}\] 

उत्तर: $A + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 + 1)}&{(4 + 3)} \\   {(3 - 2)}&{(2 + 5)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&7 \\   1&7   \end{array}} \right]$ 

\[\mathbf{A - B}\] 

उत्तर: $A - B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 - 1)}&{(4 - 3)} \\   {(3 + 2)}&{(2 - 5)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1 \\   5&{ - 3}   \end{array}} \right]$ 

\[\mathbf{3A - C}\] 

उत्तर: $3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {2 \times 3}&{4 \times 3} \\   {3 \times 3}&{2 \times 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{12} \\   9&6   \end{array}} \right]$ 

$  \therefore 3\;{\text{A}} - {\text{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{12} \\   9&6  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&5 \\   3&4   \end{array}} \right] $  $= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(6 + 2)}&{(12 - 5)} \\   {(9 - 3)}&{(6 - 4)}  \end{array}} \right] $  $   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  8&7 \\   6&2  \end{array}} \right] $

\[\mathbf{AB}\] 

$  {\text{AB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 \times 1 - 4 \times 2)}&{(2 \times 3 + 4 \times 5)} \\   {(3 \times 1 - 2 \times 2)}&{(3 \times 3 + 2 \times 5)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 - 8)}&{(6 + 20)} \\   {(3 - 4)}&{(9 + 10)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 6}&{26} \\   { - 1}&{19}  \end{array}} \right] $   

\[\mathbf{BA}\] 

उत्तर: $BA = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 \times 2 + 3 \times 3)}&{(1 \times 4 + 3 \times 2)} \\   {( - 2 \times 2 + 5 \times 3)}&{( - 2 \times 4 + 5 \times 2)}  \end{array}} \right] $  $   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 + 9)}&{(4 + 6)} \\   {( - 4 + 15)}&{( - 8 + 10)} \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {11}&{10} \\   {11}&2  \end{array}} \right] $

प्रश्र 2: निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   b&a   \end{array}} \right]}$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   b&a  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(a + a)}&{(b + b)} \\   {( - b + b)}&{(a + a)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2a}&{2b} \\   0&{2a}   \end{array}} \right] $  

$   = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   0&a   \end{array}} \right] $

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\   {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}   {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab}   \end{array}} \right]}$

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\   {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}}   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab} \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}&{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \\   {\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}&{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab}  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)}&{\left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right)} \\   {\left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)}&{\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}  \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{{({\mathbf{a}} + {\mathbf{b}})}^2}}&{{{({\mathbf{b}} + {\mathbf{c}})}^2}} \\   {{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{c}})}^2}}&{{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})}^2}}   \end{array}} \right]$

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 6} \\   8&5&{16} \\   2&8&5  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {12}&7&6 \\   8&0&5 \\  3&2&4   \end{array}} \right]}$

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 6} \\   8&5&{16} \\   2&8&5  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {12}&7&6 \\   8&0&5 \\   3&2&4   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {( - 1 + 12)}&{(4 + 7)}&{( - 6 + 6)} \\   {(8 + 8)}&{(5 + 0)}&{(16 + 5)} \\   {(2 + 3)}&{(8 + 2)}&{(5 + 4)}   \end{array}} \right] $  

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {11}&{11}&0 \\   {16}&5&{21} \\   5&{10}&9  \end{array}} \right] $ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x} \\   {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x} \\   {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x}  \end{array}} \right]}$ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x} \\   {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x}   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x} \\   {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)}&{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \\   {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}&{\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)}   \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   1&1   \end{array}} \right]$ (चूंकि $,\left. {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)$ 

प्रश्न 3: निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए: 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&{ - b} \\   b&a   \end{array}} \right]}$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&{ - b} \\   b&a   \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(a \times a + b \times b)}&{( - a \times b + b \times a)} \\   {( - b \times a + a \times b)}&{(b \times b + a \times a)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&0 \\   0&{{a^2} + {b^2}}  \end{array}} \right] $  

$  = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\mid  $

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   2 \\   3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   2 \\   3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 \times 2}&{1 \times 3}&{1 \times 4} \\   {2 \times 2}&{2 \times 3}&{2 \times 4} \\   {3 \times 2}&{3 \times 3}&{3 \times 4}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&3&4 \\   4&6&8 \\   6&9&{12}  \end{array}} \right] $  

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   2&3&1   \end{array}} \right]}$ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&3  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   2&3&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 \times 1 - 2 \times 2)}&{(1 \times 2 - 2 \times 3)}&{(1 \times 3 - 2 \times 1)} \\   {(2 \times 1 + 3 \times 2)}&{(2 \times 2 + 3 \times 3)}&{(2 \times 3 + 3 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 - 4)}&{(2 - 6)}&{(3 - 2)} \\   {(2 + 6)}&{(4 + 9)}&{(6 + 3)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 3}&{ - 4}&1 \\   8&{13}&9   \end{array}} \right] $  

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4 \\   3&4&5 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 3}&5 \\   0&2&4 \\   3&0&5  \end{array}} \right]}$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4 \\   3&4&5 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 3}&5 \\   0&2&4 \\   3&0&5  \end{array}} \right]$

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 3)}&{( - 2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 0)}&{(2 \times 5 + 3 \times 4 + 4 \times 5)} \\   {(3 \times 1 + 4 \times 0 + 5 \times 3)}&{( - 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 0)}&{(3 \times 5 + 4 \times 4 + 5 \times 5)} \\   {(4 \times 1 + 5 \times 6 \times 3)}&{( - 4 \times 3 + 5 \times 2 + 6 \times 0)}&{(4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 5)}  \end{array}} \right] $ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 + 0 + 12)}&{( - 6 + 6 + 0)}&{(10 + 12 + 20)} \\   {(3 + 0 + 15)}&{( - 9 + 8 + 0)}&{(15 + 16 + 25)} \\   {(4 + 0 + 18)}&{( - 12 + 10 + 0)}&{(20 + 20 + 30)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {14}&0&{42} \\   {18}&{ - 1}&{56} \\   {22}&{ - 2}&{70}  \end{array}} \right] $

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&2 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&1 \\   { - 1}&2&1  \end{array}} \right]}$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&2 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&1 \\   { - 1}&2&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 \times 1 - 1 \times 1)}&{(2 \times 0 + 1 \times 2)}&{(2 \times 1 + 1 \times 1)} \\   {(3 \times 1 - 2 \times 1)}&{(3 \times 0 + 2 \times 2)}&{(3 \times 1 + 2 \times 1)} \\   {( - 1 \times 1 - 1 \times 1)}&{( - 1 \times 0 + 1 \times 2)}&{( - 1 \times 1 + 1 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 - 1)}&{(0 + 2)}&{(2 + 1)} \\   {(3 - 2)}&{(0 + 4)}&{(3 + 2)} \\   {( - 1 - 1)}&{(0 + 2)}&{( - 1 + 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   1&4&5 \\   { - 2}&{ - 2}&0  \end{array}} \right] $

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&3 \\   { - 1}&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   1&0 \\   3&1  \end{array}} \right]}$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&3 \\   { - 1}&0&2   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   1&0 \\   3&1   \end{array}} \right] $  

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(3 \times 2 - 1 \times 1 + 3 \times 3)}&{( - 3 \times 3 - 1 \times 0 + 3 \times 1)} \\   {( - 1 \times 2 + 0 \times 1 + 2 \times 3)}&{(1 \times 3 + 0 \times 0 + 2 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(6 - 1 + 9)}&{( - 9 - 0 + 3)} \\   {( - 2 + 0 + 6)}&{(3 + 0 + 2)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {14}&{ - 6} \\   4&5  \end{array}} \right] $

प्रश्न4: यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right],\quad B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3   \end{array}} \right]$ तथा $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3  \end{array}} \right]$ तो \[\left( {A + B} \right)\] तथा \[\left( {B{\text{ }} - {\text{ }}C} \right)\] परिकलित कीजिए| साथ ही सत्यापित कीजिए कि \[A + \left( {B - C} \right) = {\text{ }}\left( {A + B} \right) - C.\] 

उत्तर:  

$  A + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 + 3)}&{(2 - 1)}&{( - 3 + 2)} \\   {(5 + 4)}&{(0 + 2)}&{(2 + 5)} \\   {(1 + 2)}&{( - 1 + 0)}&{(1 + 3)}  \end{array}} \right] $

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&{ - 1} \\   9&2&7 \\   3&{ - 1}&4   \end{array}} \right] $  

$  B - C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 2}&0 \\   4&{ - 1}&3 \\   1&2&0  \end{array}} \right] $ 

इसीलिए $A + (B - C) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 2}&0 \\   4&{ - 1}&3 \\   1&2&0  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 - 1)}&{(2 - 2)}&{( - 3 + 0)} \\   {(5 + 4)}&{(0 - 1)}&{(2 + 3)} \\   {(1 + 1)}&{( - 1 + 2)}&{(1 + 0)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&{ - 3} \\   9&{ - 1}&5 \\   2&1&1  \end{array}} \right]$ 

$(A + B) - C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&{ - 1} \\   9&2&7 \\   3&{ - 1}&4  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&{ - 3} \\   9&{ - 1}&5 \\   2&1&1   \end{array}} \right] $

स्पष्टतया \[A{\text{ }} + {\text{ }}\left( {B - C} \right){\text{ }} = {\text{ }}\left( {A + B} \right){\text{ }}--{\text{ }}C\] 

प्रश्न 5: यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{3}}&1&{\frac{5}{3}} \\   {\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{4}{3}} \\   {\frac{7}{3}}&2&{\frac{2}{3}}  \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}&1 \\   {\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}&{\frac{4}{5}} \\   {\frac{7}{5}}&{\frac{6}{5}}&{\frac{2}{5}}  \end{array}} \right]$, तो \[3A - 5B\] परिकलित कीजिए|

$3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\frac{2}{3}}&1&{\frac{5}{3}} \\   {\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{4}{3}} \\   {\frac{7}{3}}&2&{\frac{2}{3}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right]$ 

$   = 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}&1 \\   {\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}&{\frac{4}{5}} \\   {\frac{7}{5}}&{\frac{6}{5}}&{\frac{2}{5}}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2   \end{array}} \right]$

इसीलिए $3A - 5B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्र 6: सरल कीजिए $\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \Theta }&{\sin \theta } \\   { - \sin \theta }&{\cos \Theta }  \end{array}} \right] + \sin \Theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \theta }&{ - \cos \theta } \\   {\cos \Theta }&{\sin \theta }   \end{array}} \right]$ 

$\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \Theta }&{\sin \theta } \\   { - \sin \theta }&{\cos \Theta }  \end{array}} \right] + \sin \Theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \theta }&{ - \cos \theta } \\   {\cos \Theta }&{\sin \theta }  \end{array}} \right]$

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}\Theta }&{\sin \theta \cos \Theta } \\   { - \sin \theta \cos \Theta }&{{{\cos }^2}\theta }   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}\Theta }&{ - \sin \theta \cos \Theta } \\   {\sin \theta \cos \Theta }&{{{\sin }^2}\theta }   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}&0 \\   0&{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$ (चूंकि$,\left. {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)$ 

$ = 1$  (2 कोटि का तत्समक आव्यूह)

प्रश्न 7: $\mathbf{{\text{X}}}$ तथा ${\text{Y}}$ ज्ञात कीजिये यदि

$\mathbf{X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4   \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{X - Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&0 \\   0&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   

$  X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  7&0 \\   2&5   \end{array}} \right].......(i) $  

$  X - Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&0 \\   0&3   \end{array}} \right].......(ii) $   

$  {\text{(i) }} + {\text{ (ii) }} \Rightarrow 2{\text{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10}&0 \\   2&8  \end{array}} \right] $  

$  \Rightarrow {\text{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&0 \\   1&4  \end{array}} \right]{\text{ }} $  

$  {\text{(i) - (ii) }} \Rightarrow 2{\text{Y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&0 \\   2&2  \end{array}} \right] $  

$   \Rightarrow Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0 \\   1&1  \end{array}} \right] $  

$\mathbf{2X + 3Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   4&0   \end{array}} \right]$ तथा $3X + 2Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 2} \\   { - 1}&5  \end{array}} \right]}$ 

$  2X + 3Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   4&0  \end{array}} \right]...........(i) $

$  3X + 2Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 2} \\   { - 1}&5  \end{array}} \right].......(ii) $

$  {\text{ (i) }} \times 3 \Rightarrow 6X + 9Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] $  

$  (ii) \times 2 \to 6X + 4Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 4} \\   { - 2}&{10}  \end{array}} \right] $

${\text{ (i) - (ii) }} \to 5Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 4} \\   { - 2}&{10}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{13} \\   {14}&{ - 10}  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{{13}}{5}} \\   {\frac{{14}}{5}}&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$  {\text{(i) }} \times 2 \Rightarrow 4X + 6Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] $

$  {\text{ (ii) }} \times 3 \Rightarrow 9X + 6Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 6} \\   { - 3}&{15}  \end{array}} \right]{\text{ }} $  

$  {\text{(i) - (ii) }} \Rightarrow 5X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 6} \\   { - 3}&{15}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&6 \\   8&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 12} \\   { - 11}&{15}  \end{array}} \right] $

$  \Rightarrow X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{ - \frac{{12}}{5}} \\   { - \frac{{11}}{5}}&3  \end{array}} \right] $

 प्रश्न 8: x तथा Y ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4  \end{array}} \right]$ तथा $2X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  हमें पता है कि $Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4  \end{array}} \right]$  

तथा $2X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $2X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right] - Y$ 

$\to 2X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 2}&{ - 2} \\   { - 4}&{ - 2}   \end{array}} \right] =  - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   2&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow X =  - 1\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   2&1  \end{array}} \right]$

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 1}  \end{array}} \right] $

प्रश्न 9: $x$ तथा $Y$ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&x \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   हमें दिया गया है कि:

$2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&x  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right]$ 

इसे परिकलित करने पर हम पाएंगे कि:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&6 \\   0&{2x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2 + y}&6 \\   1&{2x + 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right] $

दोनों तरफ के आव्यूहों की तुलना करने पर हम पाएँगे कि:

\[2 + y = 5{\text{ }}\] तथा\[2x + 2 = 8\] 

\[{\text{ }} \Rightarrow y = 5 - 2 = {\text{ }}3\] तथा \[x = {\text{ }}\frac{{8 - 2{\text{ }}}}{2}{\text{ }} = {\text{ }}3\] 

प्रश्न 10. प्रदत्त समीकरण को $x,y,z$ तथा $t$ के लिए हल कीजिए यदि

$\mathbf{2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&z \\   y&t  \end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&2  \end{array}} \right] = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&5 \\   4&6  \end{array}} \right]}$ 

$2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&z \\   y&t  \end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&2  \end{array}} \right] = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&5 \\   4&6  \end{array}} \right]$ 

परिकलन करने पर हम पाएंगे की :

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {2x}&{2z} \\   {2y}&{2t}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 3} \\   0&6  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  9&{15} \\   {12}&{18}  \end{array}} \right] $  

$\to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x + 3}&{2z - 3} \\   {2y}&{2t + 6}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  9&{15} \\   {12}&{18} \end{array}} \right] $

दोनों तरफ की आव्यूह क इतुलना करने पर हम यह चार समीकरण पाएंगे:

$\begin{array}{*{20}{l}}  {2x + 3 = 9\quad  \Rightarrow x = \frac{{9 - 3}}{2} = 3} \\   {2z - 3 = 15\quad  \Rightarrow \quad z = \frac{{15 + 3}}{2} = 9} \\   {2y = 12\quad  \Rightarrow \quad y = \frac{{12}}{2} = 6} \\   {2t + 6 = 18\quad  \Rightarrow \quad t = \frac{{18 - 6}}{6} = 6}  \end{array}$ 

प्रश्न 11. यदि $\mathbf{x\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2 \\   3  \end{array}} \right] + y\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]}$ है तो $x$ तथा $Y$के मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर:  दिया है ${\text{x}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2 \\   3  \end{array}} \right] + {\text{y}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x} \\   {3x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - y} \\   y  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x - y} \\   {3x - y}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

संगत अव्यवों की तुलना करने पर

$  2x - y = 10........(1) $  

$  3x - y = 5..........(2) $  

$  (1) + (2) $  

$  5x = 15,x = 3 $  

$x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर

$2 \times 3 - y = 10,y = 6 - 10 =  - 4$ 

प्रश्न 12. यदि $\mathbf{3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&y \\   z&w  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&6 \\   { - 1}&{2w}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{x + y} \\   {z + w}&3  \end{array}} \right]}$ हैं तो $x,y,z$ तथा $w$ के मानों को ज्ञात कीजिए|

उत्तर:  दिया है

 $  3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&y \\   z&w  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&6 \\   { - 1}&{2w}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{x + y} \\   {z + w}&3  \end{array}} \right] $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x}&{3y} \\   {3z}&{3w}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + 4}&{6 + x + y} \\   { - 1 + z + w}&{2w + 3}  \end{array}} \right] $

 संगत अव्यवों की तुलना करने पर 

$3x = x + 4 $  

$\Rightarrow 2x = 4 $  

$\Rightarrow x = 2 $  

$3y = 6 + x + y $

$\Rightarrow 2y = 6 + x = 6 + 2 $  

$\Rightarrow y = 4$

$3w = 2w + 3 $  

$w = 3 $  

$3z =  - 1 + z + w $  

$\Rightarrow 2z =  - 1 + w =  - 1 + 3 $  

 z = 1 $

प्रश्न 13. $\mathbf{{\text{F}}({\text{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]}$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{{\text{F}}({\text{x}}) \cdot {\text{F}}({\text{y}}) = {\text{F}}({\text{x}} + {\text{y}})}$ 

उत्तर:   दिया है ${\text{F}}({\text{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$

${\text{F}}({\text{y}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos y}&{ - \sin y}&0 \\   {\sin y}&{\cos y}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $  

${\text{F}}({\text{x}}) \cdot {\text{F}}({\text{y}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos y}&{ - \sin y}&0 \\   {\sin y}&{\cos y}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x\cos y - \sin x\sin y + 0}&{ - \cos x\sin y - \sin x\cos y + 0}&0 \\   {\sin x\cos y + \cos x\sin y + 0}&{ - \sin x\sin y + \cos x\cos y + 0}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos (x + y)}&{ - \sin (x + y)}&0 \\   {\sin (x + y)}&{\cos (x + y)}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

\[ = {\text{ }}F\left( {x{\text{ }} + {\text{ }}y} \right){\text{ }} = \] दायाँ पक्ष

 प्रश्न 14. दर्शाइए कि 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right] \ne \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   दायाँ पक्ष

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right] $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10 + 6}&{ - 2 + 7} \\   {15 + 24}&{ - 3 + 28}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {16}&5 \\   {39}&{25}  \end{array}} \right] $

बायाँ पक्ष 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10 - 3}&{5 - 4} \\   {12 + 21}&{6 + 28}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&1 \\   {33}&{34}  \end{array}} \right] $

बाँयां पक्ष $ \ne $ दांयाँ पक्ष 

$ \mathbf{= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]}$ $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\    1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right] \ne \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   बाँयां पक्ष

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 0 + 6}&{1 - 2 + 9}&{0 + 2 + 12} \\   {0 + 0 + 0}&{0 - 1 + 0}&{0 + 1 + 0} \\   { - 1 + 0 + 0}&{1 - 1 + 0}&{0 + 1 + 0}   \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&8&{14} \\   0&{ - 1}&1 \\   { - 1}&0&1  \end{array}} \right] $ 

दांयाँ पक्ष $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 0 + 0}&{ - 2 + 1 + 0}&{ - 3 + 0 + 0} \\   {0 + 0 + 1}&{0 - 1 + 1}&{0 + 0 + 0} \\   {2 + 0 + 4}&{4 + 3 + 4}&{6 + 0 + 0}  \end{array}} \right]$  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1}&{ - 3} \\   1&0&0 \\   6&{11}&6  \end{array}} \right] $

प्रश्न 15. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]}$ है तो \[\mathbf{{A^2}{\text{ }} - {\text{ }}5A{\text{ }} + {\text{ }}6I{\text{ }}}\] का माना ज्ञात कीजिए

उत्तर:   दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ 

${A^2} = A \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {4 + 0 + 1}&{0 + 0 + 1}&{2 + 0 + 0} \\   {4 + 2 + 3}&{0 + 1 - 3}&{2 + 3 + 0} \\   {2 - 2 + 0}&{0 - 1 + 0}&{1 - 3 + 0}   \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$  {A^2} - 5A + 6I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] - 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right] + 6\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10}&0&1 \\   {10}&5&3 \\   5&{ - 5}&0  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&0&0 \\   0&6&0 \\   0&0&6  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&{ - 3} \\   { - 1}&{ - 1}&{ - 10} \\   { - 5}&4&4  \end{array}} \right] $

प्रश्न 16. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]}$ है तो सिद्ध कीजिए कि \[\mathbf{{A^3}{\text{ }} - {\text{ }}6{A^2}{\text{ }} + {\text{ 7A  + }}2I = 0}\] 

उत्तर:   दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]$ 

${A^2} = A \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 0 + 4}&{0 + 0 + 0}&{2 + 0 + 6} \\   {0 + 0 + 2}&{0 + 4 + 0}&{0 + 2 + 3} \\   {2 + 0 + 6}&{0 + 0 + 0}&{4 + 0 + 9}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right] $  

$  {A^3} = {A^2} \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {5 + 0 + 16}&{0 + 0 + 0}&{10 + 0 + 24} \\   {2 + 0 + 10}&{0 + 8 + 0}&{4 + 4 + 15} \\   {8 + 0 + 26}&{0 + 0 + 0}&{16 + 0 + 39}  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right]$ 

${A^3} - 6{A^2} + 7A + 2I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right] - 6\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right] + 7\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {30}&0&{48} \\   {12}&{24}&{30} \\   {48}&0&{73}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&0&{14} \\   0&{14}&7 \\   {14}&0&{21}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0&0 \\   0&2&0 \\   0&0&2  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right] = 0 $  

${A^3} - 6{A^2} + 7A + 2I = 0 $ 

प्रश्न 17. यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]}$ एवं \[\mathbf{{A^2}{\text{ }} = {\text{ KA}} - {\text{ }}2I}\] हो तो $K$ ज्ञात कीजिए

उत्तर:  दिया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right],{\text{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$

$  {A^2} = A,A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {9 - 8}&{ - 6 + 4} \\   {12 - 8}&{ - 8 + 4}  \end{array}} \right] $ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 2} \\   4&{ - 4}  \end{array}} \right] $  

$KA - 2I = K\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {3k}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0 \\   0&2  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3k + 2}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k + 2}  \end{array}} \right] $

${A^2} = KA - 2I $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 2} \\   4&{ - 4}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3k - 2}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k - 2}  \end{array}} \right] $  

$3k - 2 = 1 $  

$\Rightarrow 3k = 3 $  

प्रश्न 18. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right]}$ तथा $I$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह है |तो सिद्ध कीजिए कि

$I + A = (I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right],I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$I + A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right] $

$ - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

$(I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] = \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] - } \right.{\text{ }}\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right]} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\tan \frac{\alpha }{2}} \\   { - \tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\tan \frac{\alpha }{2}} \\   { - \tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{ - 2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}} \\   {\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{ - \tan \frac{\alpha }{2} - {{\tan }^3}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}} \\   {\frac{{\tan \frac{\alpha }{2} + {{\tan }^3}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

अतः $I + A = (I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 19. किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भित्र-भित्र प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर $5\% $ वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर $7\% $ वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज

 Rs 1800 हो। 

 Rs 2000 हो।

उत्तर:  माना की एक भाग $x$ है इसलिए दूसरा भाग $(30000 - x)$ 

आव्यूह ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - {\text{x}})}  \end{array}} \right]$ 

व्याज दर $5\%  = 0.05$  तथा $7\%  = 0.07$ है

${\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right]$ 

कुल ब्याज \[ = {\text{ }}1800{\text{ }} = {\text{ }}A.{\text{ }}B\] 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - x)}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right] = [1800] $  

$[0.05x + (3000 - x)0.07] = [1800] $  

$0.05x - 0.07x + 2100 = 1800 - 0.02x $  

$=  - 300 $  

$x = 15000 $

पहला भाग \[ = {\text{ }}15000{\text{ }}\] 

दूसरा भाग\[ = {\text{ }}30000{\text{ }} - {\text{ }}15000{\text{ }} = {\text{ }}15000\] 

कुल ब्याज\[ = {\text{ }}2000{\text{ }} = {\text{ }}A.{\text{ }}B\] 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - x)}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right] = [2000] $  

$[0.05x + (3000 - x)0.07] = [2000] $  

$0.05x - 0.07x + 2100 = 2000 $

\[ - 0.02x = {\text{ }} - 100\] 

\[{\text{x  =  }}5000\] 

पहला भाग \[ = {\text{ }}5000\] 

दूसरा भाग\[ = {\text{ }}30000{\text{ }} - {\text{ }}5000{\text{ }} = {\text{ }}25000\] 

प्रश्न 20. किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विजान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs 80, Rs 60 तथा Rs 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी।

मान लीजिए कि $\mathbf{{\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः $\mathbf{2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3}$ तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं। नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।

उत्तर:  रसायन विज्ञान की पुस्तकों की संख्या $ = 10$ दर्जन $ = 120$ 

भौतिकी विज्ञान की पुस्तकों की संख्या $ = 8$ दर्जन $ = 96$ 

अर्थशास्त्न की पुस्तकों की संख्या $ = 10$ दर्जन $ = 120$ 

आव्यूह ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120}&{96}&{120}  \end{array}} \right]$ 

रसायन विज्ञान, भीतिकी विज्ञान तथा अथेशास्त्न की प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्रमशः \[Rs80,{\text{ }}Rs60,\] तथा \[Rs40\]है 

${\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {80} \\   {60} \\   {40}  \end{array}} \right]$ 

प्राप्त राशि

$= {\text{ A}}{\text{. }}B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120}&{96}&{120} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {80} \\   {60} \\   {40}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120 \times 80}&{96 \times 60}&{120 \times 60}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {9600}&{5760}&{4800}  \end{array}} \right] = [20160] $

प्राप्त राशि \[ = {\text{ }}20160{\text{ }}Rs{\text{ }}\] 

प्रश्न 21. \[\mathbf{{\text{P Y + W Y}}}\] के परिभाषित होने के लिए \[n,k,\] तथा $p$ पर क्या प्रतिबन्ध होगा |

\[\mathbf{K = 3,{\text{ }}p{\text{ }} = {\text{ }}}\] 

k स्वेच्छ है,

pस्वेच्छ है,

k = 2,p = n,p = 2,k = 3,3

उत्तर: ${\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः \[2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3\] तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं।

$P$ की कोटि $ = p \times k$ 

$Y$ की कोटि $ = 3 \times k$ 

$PY$ तभी संभव है जब $k = 3$ 

 $PY$ की कोटि $ = p \times k = p \times 3$ 

$w$ की कोटि $ = n \times 3$ 

$Y$ की कोटि $ = 3 \times k = 3 \times 3$ 

$WY$ की कोटि $ = n \times 3$ 

$PY$ तथा $WY$ को तभी जोड़ सकते हैं जब दोनों की कोटि समान

$  p \times 3 = n \times 3 $  

$  p = n $

अतः $k = 3$ तथा $p = n$ होना चाहिए

इसलिए विकल्प $(A)$ सही है

प्रश्र 22. \[\mathbf{{\mathbf{n}} = {\mathbf{p}},}\] तो आव्यूह $\mathbf{7X - 5{\text{Z}}}$ की कोटि है।

$\mathbf{{\text{p}} \times 2}$ 

$\mathbf{2 \times {\text{n}}}$

$\mathbf{{\text{ n}} \times 3}$

$\mathbf{{\text{p}} \times {\text{n}}}$

उत्तर: दिया है

${\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः $2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3$ तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं।

${\text{X}}$ की कोटि $ = 2 \times n$ 

$Z$ की कोटि $ = 2 \times p$ 

$7X - 5{\text{Z}}$ तभी हो सकता है जब दोनों की कोटि समान हो

अतः $7X - 5{\text{Z}}$ की कोटि $2 \times n = 2 \times p$ होगी

इसलिए विकल्प (B) सही है।

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित आव्यूहों मे से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए :

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5 \\   {\frac{1}{2}} \\   { - 1}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5 \\   {\frac{1}{2}} \\   { - 1}  \end{array}} \right]$ इसिलए ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&{\frac{1}{2}}&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ इसिलए ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2 \\   { - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]$ इसिलए $C' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 2. यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि:

\[\mathbf{\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime {\text{ }}}\] 

उत्तर: दिया गया है, \[A{\text{ }} = 23{\text{ }}579 - 2112\] 

दिया गया है , $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right]$तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$

इसिलए \[,{\text{ }}\left( {A + B} \right){\text{ }}\] $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 - 4}&{2 + 1}&{3 - 5} \\   {5 + 1}&{7 + 2}&{9 + 0} \\   { - 2 + 1}&{1 + 3}&{1 + 1}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&3&{ - 2} \\   6&9&9 \\   { - 1}&4&2  \end{array}} \right]$ 

अब ${(A + B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&6&{ - 1} \\   3&9&4 \\   { - 2}&9&2  \end{array}} \right] \ldots .....(i)$ 

फिर ${A^\prime } = 5 - 2\quad 27\quad 1\quad 39\quad 1$  फिर ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right]$ तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${A^\prime } + {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right] = $ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 - 4}&{5 + 1}&{ - 2 + 1} \\   {2 + 1}&{7 + 2}&{1 + 3} \\   {3 - 5}&{9 + 0}&{1 + 1}  \end{array}} \right] $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&6&{ - 1} \\   3&9&4 \\   { - 2}&9&2  \end{array}} \right]$

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि,

${(A + B)^\prime } = {A^\prime } + {B^\prime }$ 

\[\mathbf{\left( {A{\text{ }}--{\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }}--{\text{ }}B\prime }\] 

अब, $(A - B) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right] = $ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 4}&{2 - 1}&{3 + 5} \\   {5 - 1}&{7 - 2}&{9 - 0} \\   { - 2 - 1}&{1 - 3}&{1 - 1}  \end{array}} \right] $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1&8 \\   4&5&9 \\   { - 3}&{ - 2}&0  \end{array}} \right]$

इसिलए ${(A - B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4&{ - 3} \\   1&5&{ - 2} \\   8&9&0  \end{array}} \right]$ 

हमें ज्ञात है कि ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right]$ तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

फिर ${A^\prime } - {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 4}&{5 - 1}&{ - 2 - 1} \\   {2 - 1}&{7 - 2}&{1 - 3} \\   {3 + 5}&{9 - 0}&{1 - 1}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4&{ - 3} \\   1&5&{ - 2} \\   8&9&0  \end{array}} \right].....................(iv) $

समीकरण (iii) और (iv) से प्रमाणित होता है कि, 

प्रश्न 3. यदि $\mathbf{{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]}$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि:

\[\mathbf{\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime {\text{ }}}\]

 उत्तर: दिया गया है  ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1   \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]$ 

इसिलए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right]$ और ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]$ क्यूंकि  

अब $({\text{A}} + {\text{B}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right] $

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 1}&{ - 1 + 2}&{0 + 1} \\   {4 + 1}&{2 + 2}&{1 + 3}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1&1 \\   5&4&4  \end{array}} \right] $ 

इसिलए ${({\text{A}} + {\text{B}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&4 \\   1&4  \end{array}} \right] \ldots ....(i)$ 

फिर \[{A^\prime } + {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]\]

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 1}&{4 + 1} \\   { - 1 + 2}&{2 + 2} \\   {0 + 1}&{1 + 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&4 \\   1&4  \end{array}} \right]..............(ii)$ 

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि,  

$\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime$

 $\mathbf{\left( {A{\text{ }} - {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} - {\text{ }}B\prime}$

उत्तर: हमें ज्ञात है कि ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right]$ और ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]$ 

$({\text{A}} - {\text{B}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 1}&{ - 1 - 2}&{0 - 1} \\   {4 - 1}&{2 - 2}&{1 - 3}  \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 3}&{ - 1} \\   3&0&{ - 2}   \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${(A - B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&3 \\   { - 3}&0 \\   { - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right]...................(iii)$  

\[{A^\prime } - {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 1}&{4 - 1} \\   { - 1 - 2}&{2 - 2} \\   {0 - 1}&{1 - 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&3 \\   { - 3}&0 \\   { - 1}&{ - 2}   \end{array}} \right].......................(iv)\] 

समीकरण (iii) और (iv) से प्रमाणित होता है कि,

${(A - B)^\prime } = {A^\prime } - {B^\prime }$ 

प्रश्न 4. यदि $\mathbf{{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&3 \\   1&2  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right]}$ हैं तो ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया गया है${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&3 \\   1&2  \end{array}} \right]$  तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2   \end{array}} \right]$ [क्यूंकि ]

अब $(A + 2B) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2  \end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&0 \\   2&4  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2 - 2}&{1 + 0} \\   {3 + 2}&{2 + 4}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1 \\   5&6  \end{array}} \right] $   

इसिलए ${(A + 2B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&5 \\   1&6  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5. A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापेत कीजिए कि ${(AB)^\prime } = {B^\prime }{A^\prime },$  जहाँ

$\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3  \end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: दिया गया है , ${\text{ (i) A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3  \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${\text{AB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]$ 

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 \times ( - 1)}&{1 \times 2}&{1 \times 1} \\   { - 4 \times ( - 1)}&{ - 4 \times 2}&{ - 4 \times 1} \\   {3 \times ( - 1)}&{3 \times 2}&{3 \times 1}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   4&{ - 8}&{ - 4} \\   { - 3}&6&3  \end{array}} \right] $

अब ${({\text{AB}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 3} \\   2&{ - 8}&6 \\   1&{ - 4}&3  \end{array}} \right] \ldots .....(i)$ 

इसिलए ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 4}&3  \end{array}} \right]$  तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   2 \\   1  \end{array}} \right]$ 

अब ${B^\prime }{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   2 \\   1  \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 4}&3  \end{array}} \right] = $ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 \times 1}&{ - 1 \times ( - 4)}&{ - 1 \times 3} \\   {2 \times 1}&{2 \times ( - 4)}&{2 \times 3} \\   {1 \times 1}&{1 \times ( - 4)}&{1 \times 3}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 3} \\   2&{ - 8}&6 \\   1&{ - 4}&3  \end{array}} \right]..........(ii)$ 

${(AB)^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }$ 

$\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2   \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7  \end{array}} \right]}$ 

दिया गया है, ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2   \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7   \end{array}} \right]$

इसिलए $AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2  \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0 \times 1}&{0 \times 5}&{0 \times 7} \\   {1 \times 1}&{1 \times 5}&{1 \times 7} \\   {2 \times 1}&{2 \times 5}&{2 \times 7}   \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&0 \\   1&5&7 \\   2&{10}&{14}  \end{array}} \right]$ 

अब, ${({\text{AB}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&2 \\   0&5&{10} \\   0&7&{14}  \end{array}} \right]..................(iii)$ 

इसिलए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&2  \end{array}} \right.$ तथा ${{\text{B}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   5 \\   7 \end{array}} \right]$ 

$  {B^\prime }{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   5 \\   7   \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 \times 0}&{1 \times 1}&{1 \times 2} \\   {5 \times 0}&{5 \times 1}&{5 \times 2} \\   {7 \times 0}&{7 \times 1}&{7 \times 2}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&2 \\   0&5&{10} \\   0&7&{14}  \end{array}} \right]....................(iv) $

${({\text{AB}})^\prime } = {{\text{B}}^\prime }{{\text{A}}^\prime }$ 

प्रश्न 6. 

यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि: 

उत्तर: दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ इसिलए ${\text{A'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ 

अब, ${A^\prime }A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha  - \sin \alpha \cos \alpha } \\   {\sin \alpha \cos \alpha  - \cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1   \end{array}} \right] = I$ [क्यूंकि ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$]

इसीलिए प्रमाणित होता है कि,  

यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }  \end{array}} \right]}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि:

उत्तर: दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }  \end{array}} \right]$ इसीलए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{ - \cos \alpha } \\   {\cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right]$ 

अब ${A^\prime }A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{ - \cos \alpha } \\   {\cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right]$ $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }&{\sin \alpha \cos \alpha  - \cos \alpha \sin \alpha } \\   {\cos \alpha \sin \alpha  - \sin \alpha \cos \alpha }&{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = I$ [क्यूंकि ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$]

इसीलए प्रमाणित होता है की  

प्रश्न 7. 

सिद्ध कीजिए की आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]}$ एक सममित आव्यूह हैं|

उत्तर: दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]$ इसीलिए \[A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]\]

चूँकि  इसीलए प्रमाणित होता है की आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]$ एक सममित आव्यूह हैं|

सिद्ध कीजिए की आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0   \end{array}} \right]}$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

उत्तर:  दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ इसीलिए, ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1}&1 \\   1&0&{ - 1} \\   { - 1}&1&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए प्रमाणित होता है की आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ एक विषम आव्यूह हैं|

प्रश्न 8. आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right]}$ के लिए सत्यापित कीजिए कि 

 एक सममित आव्यूह हैं|

उत्तर:   दिया गया है, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right]$ इसीलिए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right]$ 

अब, $\left( {A + {A^\prime }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 1}&{5 + 6} \\   {6 + 5}&{7 + 7}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{11} \\   {11}&{14}   \end{array}} \right]$ 

फिर ${\left( {A + {A^\prime }} \right)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{11} \\   {11}&{14}   \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए प्रमाणित होता है की आव्यूह  एक सममित आव्यूह हैं| 

 एक विषम आव्यूह हैं|

उत्तर:  अब, $\left( {A - {A^\prime }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7   \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 - 1}&{5 - 6} \\   {6 - 5}&{7 - 7}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0   \end{array}} \right]$ 

फिर, ${\left( {{\text{A}} - {{\text{A}}^\prime }} \right)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1 \\   { - 1}&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0   \end{array}} \right]$ 

इसीलिए प्रमाणित हॉट अहै की आव्यूह  एक विषम सममित आव्यूह हैं|

प्रश्न 9. यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$ तो $\frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा $\frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)}$ ज्ञात कीजिए|

उत्तर:  दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$

इसीलिए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - a}&{ - b} \\   a&0&{ - c} \\   b&c&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] =  - {\text{A}}$ 

अब $\frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0 \end{array}} \right]} \right) $

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

फिर ${\text{,}}\frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2a}&{2b} \\   { - 2a}&0&{2c} \\   { - 2b}&{ - 2c}&0  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 10. निम्नलिखित आव्यूहों एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   मान लीजिये कि,${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right],{{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$  

माना, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$

अब, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 3}&{5 + 1} \\   {1 + 5}&{ - 1 - 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&6 \\   6&{ - 2} \end{array}} \right] \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 3}&{5 + 1} \\   {1 + 5}&{ - 1 - 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&6 \\   6&{ - 2}  \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] $  

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = P$, इसीलिए आव्यूह $P$ एक सममित आव्यूह हैं|

${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 3}&{5 - 1} \\   {1 - 5}&{ - 1 + 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&4 \\   { - 4}&0 \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&2 \\   { - 2}&0  \end{array}} \right] $

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 2} \\   2&0  \end{array}} \right] =  - Q$  इसीलिए आव्यूह $Q$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 2} \\   { - 2}&0  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right],{{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

माना, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$  तथा${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

अब, $P = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] + } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] = P$ , इसीलिए आव्यूह $P$ एक सममित आव्यूह हैं|

फिर $Q = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] - } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right] =  - Q{\text{, }}$ इसीलिए आव्यूह एक विषम सममित आव्यूह हैं

इसीलिए ${\text{A}} = {\text{P}} + {\text{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right],{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2   \end{array}} \right]$ 

माना ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$

अब ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right]} \right] + } \right.{\text{ }}\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&1&{ - 5} \\   1&{ - 4}&{ - 4} \\   { - 5}&{ - 4}&4  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2   \end{array}} \right] = P$ इसीलिए आव्यूह एक सममित आव्यूह हैं |

 ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right]} \right] - \left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&5&3 \\   { - 5}&0&6 \\   { - 3}&{ - 6}&0  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}} \\   { - \frac{5}{2}}&0&3 \\   { - \frac{3}{2}}&{ - 3}&0  \end{array}} \right] $   

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \frac{5}{2}}&{ - \frac{3}{2}} \\   {\frac{5}{2}}&0&{ - 3} \\   {\frac{3}{2}}&3&0  \end{array}} \right] =  - Q$  इसीलिए आव्यूह $Q$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}} \\   { - \frac{5}{2}}&0&3 \\   { - \frac{3}{2}}&{ - 3}&0  \end{array}} \right]$ 

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right],{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]$ 

${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]} \right) $  

$   = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 1}&{5 - 1} \\   { - 1 + 5}&{2 + 2}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   4&4 \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] $

तथा ${{\text{P}}^r} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] = {\text{P}}$  इसीलिए आव्यूह ${\text{P}}$ एक सममित आव्यूह हैं|

${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]} \right) $  

$= \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 - 1}&{5 + 1} \\   { - 1 - 5}&{2 - 2}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&6 \\   { - 6}&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&3 \\   { - 3}&0  \end{array}} \right] $

तथा ${{\text{Q}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 3} \\   3&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 3} \\   3&0   \end{array}} \right] =  - {\text{Q}}$  इसीलिए आव्यूह ${\text{Q}}$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&3 \\   { - 3}&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 11. यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो \[AB - BA\] एक 

विषम सममित आव्यूह हैं

सममित आव्यूह हैं

शून्य आव्यूह हैं

तत्समक आव्यूह हैं

उत्तर:    [चूँकि ]

  [चूँकि ]

\[ = {\text{ }}BA{\text{ }} - {\text{ }}AB{\text{ }}\] [दिया गया है: ]

\[ = {\text{ }} - {\text{ }}\left( {AB{\text{ }}--{\text{ }}BA} \right)\] 

चूँकि  

इसीलिए आव्यूह \[\left( {AB - BA} \right)\] एक विषम सममित आव्यूह हैं|

अतः, विकल्प (A) सही हैं।

प्रश्न 12. यदि ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]{\text{ }}$तो ${\text{A}} + {{\text{A}}^\prime } = 1, यदि\[\alpha \] का मान है 

$\mathbf{\frac{\pi }{6}}$ 

$\mathbf{\frac{\pi }{3}}$ 

$\mathbf{\pi }$ 

$\mathbf{\frac{{3\pi }}{2}}$ 

उत्तर:   दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$, इसीलिए ${\text{A'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

अब, ${\text{A}} + {{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\cos \alpha }&0 \\   0&{2\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\cos \alpha }&0 \\   0&{2\cos \alpha }  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$ 

क्योंकि क्रमित युग्म समान है, इसीलिए संगत घटक भी समान होंगे| 

इसीलिए $2\cos \alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \cos \frac{\pi }{3} \Rightarrow \alpha  = \frac{\pi }{3}$ 

अतः, विकल्प(B) सही हैं

प्रश्नावली 3.4 

प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों व्युत्क्रम,यदि उनका अस्तित्व है, तो प्रारंभिक -रुपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A\quad  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_{2 \to }}{R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_{2 \to }}\frac{1}{5}{R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{3}{5}}&{\frac{1}{5}} \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{3}{5}}&{\frac{1}{5}} \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}   \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right]\quad$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]$

प्रश्न 4. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2 \\   0&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 5}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} = {R_2} - {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 1} \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to  - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&3 \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&3 \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 3}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right]A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 7}&2  \end{array}} \right]{A_1} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 7}&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 6. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3 \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right]$  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 5} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right] $  

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 5} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 7. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   2&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 5}&3  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right]$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 5}&3  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 8. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   3&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 5} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 5} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 9. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]{A_1} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 10} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 3{R_2}} \right] $  

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 10} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न10. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 4}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 4}&2  \end{array}} \right]$ 

प्रयुक्त ${R_1} \to {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&2 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   1&0  \end{array}} \right]A$ 

प्रयुक्त ${R_1} \to ( - 1) \times {R_1}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&{ - 2} \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0  \end{array}} \right]A$

प्रयुक्त \[{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}\] 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   4&3  \end{array}} \right]A$

प्रयुक्त ${R_2} \to \frac{1}{2} \times {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]A$ 

प्रयुक्त ${R_1} \to {R_2} + {R_2}$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{1}{2}} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]A$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{1}{2}} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न11. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 4} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 4} \\   0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}  { - 1}&3 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} + 2{R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&3 \\   {\frac{{ - 1}}{2}}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} = \frac{1}{2}{R_1}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&3 \\   {\frac{{ - 1}}{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न12. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + 3{R_2}} \right] $

चूँकि पहली पक्ति में दोनों अवयव शून्य है ।

$\therefore {\text{A}}$ का व्युक्क्रम ${A^{ - 1}}$ अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न13. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   1&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} = {R_2} + {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न14. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   0&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_2} \to {R_2} - 2{R_1} $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   4&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{{ - 1}}{2}} \\   0&1  \end{array}} \right]A$

चूकि पहली पक्ति में दोनों अवयव शून्य है ।

$\therefore {\text{A}}$ का व्युत्क्रम ${A^{ - 1}}$ अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न15. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]{\text{A}} $  

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0&3 \\   2&5&3 \\   3&0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&1&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{C_2} \to {C_2} + {C_3} $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&3 \\   1&5&3 \\   { - 1}&0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0&0 \\   0&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]{\text{ A}}........................{\text{ }}\left[ {{C_1} \to {C_3} - } \right.\left. {{C_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   1&5&0 \\   { - 1}&0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0&3 \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&1&0 \\   {\frac{4}{5}}&1&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_1} \to {C_1} - } \right.\left. {\frac{1}{5}{C_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   0&5&0 \\   { - 1}&0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&3 \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&1&0 \\   {\frac{2}{5}}&1&{ - 2}  \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_1} \to } \right.\left. {{C_1} - \frac{1}{5}{C_3}} \right] $

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&{\frac{3}{5}} \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{1}{5}}&0 \\   {\frac{2}{5}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{{ - 2}}{5}} \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_2} \to } \right.\left. {\frac{1}{5}{C_2},{C_3} \to \frac{1}{5}{C_3}} \right]$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&{\frac{3}{5}} \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{1}{5}}&0 \\  {\frac{2}{5}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{{ - 2}}{5}} \end{array}} \right]$ 

प्रश्न16. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]A$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   0&9&{ - 11} \\   0&{ - 1}&4  \end{array}} \right] =  $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   3&1&0 \\   { - 2}&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[{{R_2} \to {R_2} + 3{R_1}{R_3} \to } \right.\left. {{R_3} - 2{R_1}} \right] $

$   \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   0&1&{21} \\   0&{ - 1}&4  \end{array}} \right] =  $  

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   { - 13}&1&8 \\   { - 2}&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} \to {R_1} - 3{R_2},{R_3} \to } \right.\left. {{R_3} + {R_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&{ - 65} \\   1&1&{21} \\   0&0&1  \end{array}} \right] =  $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {40}&{ - 3}&{ - 24} \\   { - 13}&1&8 \\   { - \frac{{15}}{{25}}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_3} \to \frac{1}{{25}} \times {R_3}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] =  $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}  1&{ - \frac{2}{5}}&{ - \frac{3}{5}} \\   { - \frac{2}{5}}&{\frac{4}{{25}}}&{\frac{{11}}{{25}}} \\   { -\frac{3}{5}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right]{\text{ }}A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{R_1} \to {R_1} + } \right.\left. {65{R_3},{R_2} \to {R_2} - 21{R_3}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \frac{2}{5}}&{ - \frac{3}{5}} \\   { - \frac{2}{5}}&{\frac{4}{{25}}}&{\frac{{11}}{{15}}} \\   { - \frac{3}{5}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right] =  $  

$- \frac{1}{{25}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 25}&{10}&{15} \\   {10}&{ - 4}&{ - 11} \\   {15}&{ - 1}&{ - 9}  \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {\because A{A^{ - 1}} = I} \right] $

प्रश्न17. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर,

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]{\text{ A }} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_1} \Leftrightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&1&0 \\   2&0&{ - 1} \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&0 \\   1&0&0 \\   0&0&1 \end{array}} \right]{\text{ A}}...............{\text{ }}{R_1} - 2{R_2} \Rightarrow {R_1}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1&2 \\   2&0&{ - 1} \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   1&0&0 \\   0&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_2} - 2{R_2} \Rightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&2 \\   0&2&5 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   { - 5}&2&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_2} \Leftrightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&2 \\   0&1&2 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   { - 5}&2&{ - 1} \\ 0&0&1   \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_2} - {R_3} \Rightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&2 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&1 \\   { - 5}&2&{ - 1} \\ 0&0&1   \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_1} - {R_2} = {R_1}$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&1 \\   { - 15}&6&{ - 5} \\   5&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न18. आव्यूहों ${\text{A}}$  तथा ${\text{B}}$ एक दूसरे के व्युत्रम होंगे केवल यदि

AB = BA  

AB = BA = 0  

AB = 0,BA = 1  

AB = BA = 1 

उत्तर:  \[D.{\text{ }}A{\text{ }}B = B{\text{ }}A = 1\] 

${\text{AB}} = {\text{BA}} = 1,$ केवल इस स्थिति में ही आव्यूह ${\text{A}}$ और आव्यूह ${\text{B}}$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे ।

अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्नावली A3

प्रश्न 1  मान लीजिए कि $\mathbf{A = \left( {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right)}$ हो तो दिखाइए की सभी $\mathbf{n \in N}$ के लिए $\mathbf{{(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA}$ जहाँ$I$  एक कोटि$2$ का तत्समक आव्यूह है |

उत्तर: यहाँ $P(n):{(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA$ 

इसीलिए $P(1):{(aI + bA)^1} = aI + bA$

अतः परिणाम\[n = 1\]  के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है|

इसीलिए $P(k):{(aI + bA)^k} = {a^k}I + n{a^{k - 1}}bA$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$  के लिए भी सत्य है|

 $P(k + 1):{(aI + bA)^{k + 1}} = {a^{k + 1}} + (k + 1){a^k}kA $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {(aI + bA)^k}(aI + bA) $  

 =$ \left( {{a^k}I + n{a^{k - 1}}bA} \right)(aI + bA) \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \cdots [(aI + \left. {bA{)^{k + 1}} = {a^k}l + n{a^{k - 1}}bA} \right] $  

$= {a^{k + 1}}{I^2} + {a^k}IbA + n{a^k}IbA + n{a^{k - 1}}{b^2}{A^2} $ 

$= {a^{k + 1}} + (k + 1){a^k}bA\quad  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{A^2} = A \cdot A = } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   0&0  \end{array}} \right] = 0} \right] $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = R.H.S $ 

अतः परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है|

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि ${(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA$ समस्त प्राकृत संख्याओ $n$ के लिए सत्य है।

प्रश्न 2 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]}$ तो सिद्ध कीजिए कि  \[\mathbf{{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],n \in N\mid }\] 

उत्तर: दिया जाता है $P(n) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],n \in N$ 

अतः $P(n) = {A^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}} \\   {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}} \\   {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right] = A$ 

अतः परिणाम \[n = 1\]के लिए भी सत्य है|

इसीलिए $P(k) = {A^k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}  \end{array}} \right]$ 

सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है|

अर्थात: $P(k + 1) = {A^{k + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}}  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^{k + !}} = {A^k}A $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}} \\   {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}} \\   {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \end{array}} \right] = R \cdot H \cdot S $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $

अतः परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि 

${A^n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],$ समस्त प्राकृत संख्याओ $n$ के लिए सत्य है ।

प्रश्न 3 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right]}$  तो सिद्ध कीजिए कि$\mathbf{{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]}$  जहाँ $n$ एक पूर्णांक है |

उत्तर:  $P(n) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $P(1) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(1)}&{ - 4(1)} \\   1&{1 - 2(1)}   \end{array}} \right]$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] = A$ 

अतः परिणाम \[n = 1\] के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है |

इसीलिए $ \Rightarrow P(k) = {A^k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2k}&{ - 4k} \\   k&{1 - 2k}  \end{array}} \right]$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम के लिए भी सत्य है।

$\Rightarrow P(k + 1) = {A^{k + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(k + 1)}&{ - 4(k + 1)} \\   {k + 1}&{1 - 2(k + 1)}  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^{k + 1}} = {A^k}A $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2k}&{ - 4k} \\   k&{1 - 2k}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {3 + 6k - 4k}&{ - 4 - 8k + 4k} \\   {3k + 1 - 2k}&{ - 4k - 1 + 2k}  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + (2k + 2)}&{ - 4k - 4} \\   {k + 1}&{1 - (2k + 2)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(k + 1)}&{ - 4(2k + 2)} \\   {k + 1}&{1 - 2(k + 1)}  \end{array}} \right] = {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $  

अतः परिणाम $n = k + 1$ केलिए भी सत्य है |

${A^n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]$ 

 समस्त प्राकृत संख्याऔ $n$  के लिए सत्य है । 

प्रश्न 4 यदि $A$  तथा $B$ सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि $AB - BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

${(AB - BA)^\prime } = {(AB)^\prime } - {(BA)^\prime } $  

$= {B^\prime }{A^\prime } - {A^\prime }{B^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= BA - AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {.{A^\prime } = A,{B^\prime } = B} \right] $  

$=  - (AB - BA) $  

$\Rightarrow (AB - BA) $  

$=  - (AB - BA) $

इसीलिए आव्यूह \[(AB - BA)\] एक विषम सममित है |

प्रश्न 5 सिद्ध कीजिए कि आव्यूह ${B^\prime }AB$ सममित अथवा विषम सममित है यदि $A$ सममित अथवा विषम सममित है।

उत्तर: यदि $A$ सममित आव्यूह है।

 अत : ${A^\prime } = A$ 

 ${\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {(AB)^\prime }{\left( {{B^\prime }} \right)^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {B^\prime }{A^\prime }B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(B)}^\prime } = B} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{A^\prime } = A} \right] $  

$\Rightarrow {\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {B^\prime }AB$

इसीलिए आव्यूह \[B'AB\] एक सममित आव्यूह है |

यदि \[A\] विषम सममित आव्यूह है |

अतः ${A^\prime } =  - A$ यहाँ 

${\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {(AB)^\prime }{\left( {{B^\prime }} \right)^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {(AB)^\prime }B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{{(B)}^\prime } = B} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$=  - {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{A^\prime } =  - A} \right] $  

$\Rightarrow {\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } =  - {B^\prime }AB$  

इसिलए आव्यूह \[B'AB\] विषम सममित आव्यूह है |

प्रश्न  6 $x,y$ तथा $z$ के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]}$  समीकरण $A{A^\prime } = I$ को संतुष्ट करता है।

उत्तर: यहाँ ${A^\prime }A = I$ 

$\Rightarrow {\left[ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]} \right]^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {0 + 4{y^2} + {z^2}}&{0 + 2{y^2} - {z^2}}&{0 - 2{y^2} + {z^2}} \\   {0 + 2{y^2} - {z^2}}&{{x^2} + {y^2} + {z^2}}&{{x^2} - {y^2} - {z^2}} \\   {0 - 2{y^2} + {z^2}}&{{x^2} - {y^2} - {z^2}}&{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

यदि दो आव्यूह सामान है तो उनके सगत अवयव भी सामान होते है, 

अत: $4{y^2} + {z^2} = 1$ 

$\Rightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} $  

$2{y^2} - {z^2} = 0 $  

$\Rightarrow y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }} $  

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 $  

$\Rightarrow z =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

प्रश्न  7 $x$  के किस मान के लिए $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&0 \\   2&0&1 \\   1&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = O}$ है|

उत्तर: यहाँ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&0 \\   2&0&1 \\   1&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 4 + 1}&{2 + 0 + 0}&{0 + 2 + 2}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0 $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0 $

$\Rightarrow [6(0) + 2(2) + 4(x)] = 0 $  

$\Rightarrow [0 + 4 + 4x] = [0] $  

$\Rightarrow 4 + 4x = 0 $  

$\Rightarrow x =  - 1$

प्रश्न  8 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$  तो सिद्ध कीजिए कि$\mathbf{{A^2} - 5A + 7I = {\text{0}}}$ है|

उत्तर:   दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^2} - 5A + 7I $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] - 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array} + 7\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {9 - 1}&{3 + 2} \\   { - 3 - 2}&{ - 1 + 4}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {15}&5 \\   { - 5}&{10}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&0 \\   0&7  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  8&5 \\   { - 5}&3  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {15}&5 \\   { - 5}&{10}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  7&0 \\   0&7  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {8 - 15 + 7}&{5 - 5 + 0} \\   { - 5 + 5 + 0}&{3 - 10 + 7}  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   0&0  \end{array}} \right] $  

$= {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $ 

प्रश्न  9 यदि $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{ - 5}&{ - 1}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1  \end{array}} \right] = 0}$  है तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया है $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{ - 5}&{ - 1}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1  \end{array}} \right] = 0$ 

$ \Rightarrow [x + 0 - 2\quad 0 - 10 + 2x - 5 - 3]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1 \end{array}} \right] = 0$ 

$\Rightarrow [x(x - 2) - 40 + 2x - 8] = 0 $  

$\Rightarrow \left[ {{x^2} - 2x - 40 + 2x - 8} \right] = [0] $  

$\Rightarrow \left[ {{x^2} - 48} \right] = [0]$ 

$\Rightarrow {x^2} = 48 $

$\Rightarrow x \pm 4\sqrt 3$ 

प्रश्न 10 एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ \[x,y\] तथा $z$ का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारो में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:

बाजार उत्पादन

$\mathbf{{\text{1}}} $  

${\text{II}} $ $\mathbf{\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}}$ 

यदि $x,y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः $Rs.2.50,{\text{Rs}}1.50$ तथा \[{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}\] है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए ।

उत्तर:  यदि $x,y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः \[Rs{\text{ }}2.50,{\text{ }}Rs{\text{ }}1.50\] तथा \[Rs{\text{ }}1.00\] है तो

बाज़ार ${\text{1}} $

${\text{II}}$ $\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\text{ Rs }}}&{2.50} \\   {{\text{ Rs }}}&{1.50} \\   {Rs}&{1.00}  \end{array}} \right]$ 

प्रत्येक बाज़ार में कुल आय 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{\text{ Rs }}2.50} \\   {{\text{ Rs }}1.50} \\   {{\text{ Rs }}1.00}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {Rs25000 + Rs3000 + Rs18000} \\   {Rs15000 + Rs30000 + Rs8000}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {Rs46000} \\   {Rs53000}  \end{array}} \right]$ 

अत: बाजार I में कुल आय $Rs46000$ और बाजार ${\text{II}}$  में कुल आय Rs53000 है|

यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost ) क्रमशः \[\mathbf{{\mathbf{Rs2}}.{\mathbf{00}},{\text{ }}{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}}\] तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost ) क्रमशः \[{\mathbf{Rs2}}.{\mathbf{00}},{\text{ }}{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}\] तथा पैसे 50 है तो 

लागत वस्तुएं 

बाजार ${\text{I}}$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]$ 

बाजार ${\text{II}}$

प्रत्येक बाज़ार मेंकुल आय 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\text{ Rs }}}&{2.50} \\   {{\text{ Rs }}}&{1.00} \\   {Rs}&{0.50}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {Rs20000 + Rs2000 + Rs9000} \\   {Rs12000 + Rs20000 + Rs4000}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{\text{ Rs }}31000} \\   {Rs36000}  \end{array}} \right] $

बाजार ${\text{I}}$ में कुल आय \[Rs46000\] और बाजार ${\text{I}}$ में कुल लागत \[Rs31000\] है।

बाजार ${\text{II}}$ में कुल आय ${\text{Rs}}53000$ और बाजार ${\text{II}}$ में कुल लागत \[Rs36000\] है।

अत: कुल लाभ बाजार ${\text{I}} = $ आय- लागत

$ \Rightarrow \operatorname{Rs} 46000 - \operatorname{Rs} 31000$ 

\[ = Rs15000\] 

अत: कुल लाभ बाजार ${\text{II}} = $ आय- लागत

$\Rightarrow \operatorname{Rs} 53000 - Rs36000 $  

$= \operatorname{Rs} 17000 $ 

प्रश्न 11 आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right]}$ है|

उत्तर: माना, $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   c&d  \end{array}} \right]$  

इस प्रकार $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   c&d  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a + 4b}&{2a + 5b}&{3a + 6b} \\   {c + 4d}&{2c + 5d}&{3c + 6d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right] $

यदि दो आव्यूह सामान है तो उनके सगत अवयव भी सामान होते है. 

$\begin{array}{*{20}{c}}  {a + 4c =  - 7}&{2a + 5c =  - 8}&{3a + 6c =  - 9} \\   {b + 4d = 2}&{2b + 5d = 4}&{3b + 6d = 6}  \end{array}$ 

$a + 4c =  - 7 \Rightarrow  $  

$a =  - 7 - 4c $  

$2a + 5c =  - 8 $  

$\Rightarrow  - 14 - 8c + 5c =  - 8$ 

$\Rightarrow  - 3c = 6 $  

$\Rightarrow c =  - 2 $  

$\therefore a =  - 7 - 4( - 2) =  - 7 + 8 = 1 $  

$\Rightarrow a = 1$ 

हल करने पर 

$b + 4d = 2 $  

$\Rightarrow b = 2 - 4d $  

$2b + 5d = 4 $  

$\Rightarrow 4 - 8d + 5d = 4 $  

$\Rightarrow  - 3d = 0 $  

$\Rightarrow d = 0 $  

$\therefore b = 2 - 4(0) = 2 $  

$\Rightarrow b = 2$ 

अतः $a = 1,b =  - 2,c = 2d = 0$ 

$\therefore X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&0  \end{array}} \right]$

प्रश्न 12 यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = BA$ है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $A{B^{\prime \prime }} = {B^{\prime \prime }}A$ होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त $n \in N$ के लिए $\mathbf{{(AB)^{\prime \prime }} = {A^{\prime \prime }}{B^{\prime \prime }}}$ होगा।

निम्लिखित प्रश्रों में सही उत्तर चुनिए:

उतर: यहाँ $P(n) = A{B^{\prime \prime }} = {B^n}A$ 

इसीलिए \[{\text{P(1) = A B = B A}}\] 

इसीलिए  $P(k) = A{B^k} = {B^k}A$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम$n = k + 1$ के लिए सत्य है |

अर्थात $P(k + 1) = A{B^{k + 1}} = {B^{k + 1}}A$ 

${\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = A{B^{k + 1}} $  

$= A{B^k}B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {A{B^k} = {B^k}A} \right] $  $ = {B^k}BA \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..[AB = BA] $  

$= {B^{k + 1}}A = R.H.S $

अतः परिणाम $n = k + 1$  के लिए सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि, $A{B^n} = {B^n}A$ समस्त प्राकृत संख्याओ कि लिए सत्य है ।

${(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ 

यहां $P(n) = {(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ 

इसीलिए $P(1) = {(AB)^1} = {A^1}{B^1}$ 

इसीलिए  $P(k) = {(AB)^k} = {A^k}{B^k}$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$  के लिए भी सत्य है ।

अर्थात $P(k + 1) = {(AB)^{k + 1}} = {A^{k + 1}}{B^{k + 1}}$ 

${\text{L}}{\text{. }}H.S = {(AB)^{k + 1}} $  

$= {(AB)^k}AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^k} = {A^k}{B^k}} \right] $  

$= {A^k}A{B^k}B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .[AB = BA] $  

$= {A^{k + 1}}{B^{k + 1}} = R.H.S $

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि$,{(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ समस्त प्राकृत संख्याओ कि लिए सत्य है ।

प्रश्न 13 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha } \end{array}} \right]}$  इस प्रकार है कि ${A^2} = I$ तो 

$\mathbf{I + {\alpha ^2} + \beta \gamma  = 0}$ 

$\mathbf{I - {\alpha ^2} + \beta \gamma  = 0}$ 

$\mathbf{I - {\alpha ^2} - \beta \gamma  = 0}$ 

$\mathbf{I + {\alpha ^2} - \beta \gamma  = 0}$

उत्तर: उत्तर 13 विकल्प (C) सही है 

दिया गया है ${A^2} = I$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha }  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha }  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\alpha ^2} + \beta \gamma }&{\alpha \beta  - \beta \gamma } \\   {\alpha \gamma  - \alpha \gamma }&{\beta \gamma  + {\alpha ^2}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1   \end{array}} \right] $

अतः ${\alpha ^2} + \beta \gamma  = 1$ 

प्रश्न 14 यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो : 

 एक विकर्ण आव्यूह है

 एक शून्ये आव्यूह है

 एक वर्ग आव्यूह है

 इनमें से कोई नहीं

उत्तर: विकल्प (B) सही है।

एक शून्ये आव्यूह एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है।

प्रश्न 15 यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि ${A^2} = A$ तो $\left( {I + {A^3}} \right) - 7A$ बराबर है:

I - A 

उत्तर:  विकल्प (C) सही है। 

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